[论文解读] Stochastic nonlinear Schroedinger equations in the defocusing mass and energy critical cases

Deng Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 22被引用 11

一句话总结

本论文在所有维度 $ d \geq 1 $ 和 $ 3 \leq d \leq 6 $ 下，分别建立了带线性乘性噪声的随机非线性薛定谔方程在聚焦质量临界与能量临界情形下的全局适定性与散射性。通过尺度变换方法与改进的随机 Strichartz 估计，证明了在噪声二次变差有界条件下，解在 $ L^2 $、$ H^1 $ 与伪共形空间中几乎必然全局存在、唯一且具有尺度化散射性，同时在 Strichartz 与局部光滑化空间中建立了类似 Stroock-Varadhan 的支撑定理。

ABSTRACT

We study the stochastic nonlinear Schroedinger equations with linear multiplicative noise, particularly in the defocusing mass-critical and energy-critical cases. For general initial data, we prove the global existence and uniqueness of solutions in both cases. When the quadratic variation of noise is globally bounded, we also obtain the rescaled scattering behavior of solutions in the spaces $L^2$, $H^1$ as well as the pseudo-conformal space. Moreover, the Stroock-Varadhan type theorem for the topological support of solutions are also obtained in the Strichartz and local smoothing spaces.

研究动机与目标

• 建立带线性乘性噪声的随机非线性薛定谔方程在聚焦质量临界与能量临界情形下的全局解存在性与唯一性。
• 在噪声二次变差有界条件下，证明解在 $ L^2 $、$ H^1 $ 与伪共形空间中的尺度化散射行为。
• 在 Strichartz 与局部光滑化空间中，推导解的拓扑支撑的类似 Stroock-Varadhan 定理。
• 将此前仅用于亚临界情形的尺度变换方法推广至临界情形，克服随机扰动导致的确定性守恒律失效问题。

提出的方法

• 采用受希尔伯特空间中 Doss-Dussan 类方法启发的尺度变换，以处理随机临界 NLS。
• 利用改进的随机 Strichartz 估计，控制临界空间中的非线性项与随机项。
• 通过 Itô-Stratonovich 修正项 $ \mu = \frac{1}{2}\sum_k |G_k|^2 $ 处理由 Stratonovich 型噪声引起的项，以保持质量或能量类守恒量。
• 应用最大不等式与 Burkholder-Davis-Gundy 型估计，控制由噪声时间离散化逼近所产生的鞅项。
• 通过 $ g_k $ 的一致连续性与 $ L^p $-有界性论证，建立离散逼近的收敛性，从而得到 $ \mathbb{E}[\sup_t |J_n'(t)|^2] \to 0 $ 当 $ n \to \infty $。
• 通过 $ G_k $ 的可 summability 性与正则性，利用紧致性与概率收敛性，确保随机积分在极限下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一般初值下，为带乘性噪声的聚焦质量临界随机非线性薛定谔方程建立全局适定性？
• RQ2 在噪声二次变差有界条件下，解是否在 $ L^2 $、$ H^1 $ 与伪共形空间中表现出散射行为？
• RQ3 解在 Strichartz 与局部光滑化空间中是否具有类似 Stroock-Varadhan 的支撑定理？
• RQ4 如何将尺度变换方法适配于随机临界情形，以克服对称性与守恒律的丧失？

主要发现

• 在所有维度 $ d \geq 1 $ 下，证明了聚焦质量临界随机 NLS 的解存在且唯一。
• 在噪声二次变差有界条件下，解在 $ L^2 $、$ H^1 $ 与伪共形空间中表现出尺度化散射性。
• 在 Strichartz 与局部光滑化空间中，建立了解的拓扑支撑的类似 Stroock-Varadhan 定理。
• 在 $ d > 6 $ 的能量临界情形下，假设能量存在先验界，获得了条件全局适定性。
• 在非守恒情形下，证明了解的 $ L^2 $-范数为连续局部鞅，从而保证了均值范数平方的守恒性。
• 通过 $ L^p $-估计与一致连续性，严格证明了随机积分离散逼近的收敛性，且满足 $ \mathbb{E}[\sup_t |J_n'(t)|^2] \to 0 $ 当 $ n \to \infty $。