[论文解读] Stochastic nonlinear wave dynamics on compact surfaces

Tadahiro Oh, Tristan Robert+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems被引用 4

一句话总结

本文在紧致二维黎曼流形上建立了随机与确定性非线性波动方程的局部与全局适定性，通过空间依赖与时空重整化处理来自时空白噪声和奇异非线性的发散。通过证明几乎必然的全局存在性及动力系统下吉布斯测度的不变性，将先前在环面上的结果推广至一般紧致流形。

ABSTRACT

We study the Cauchy problem for the nonlinear wave equations (NLW) with random data and/or stochastic forcing on a two-dimensional compact Riemannian manifold without boundary. (i) We first study the defocusing stochastic damped NLW driven by additive space-time white-noise, and with initial data distributed according to the Gibbs measure. By introducing a suitable space-dependent renormalization, we prove local well-posedness of the renormalized equation. Bourgain's invariant measure argument then allows us to establish almost sure global well-posedness and invariance of the Gibbs measure for the renormalized stochastic damped NLW. (ii) Similarly, we study the random data defocusing NLW (without stochastic forcing), and establish the same results as in the previous setting. (iii) Lastly, we study the stochastic NLW without damping. By introducing a space-time dependent renormalization, we prove its local well-posedness with deterministic initial data in all subcritical spaces. These results extend the corresponding recent results on the two-dimensional torus obtained by (i) Gubinelli-Koch-Oh-Tolomeo (2018), (ii) Oh-Thomann (2017), and (iii) Gubinelli-Koch-Oh (2018), to a general class of compact manifolds. The main ingredient is the Green's function estimate for the Laplace-Beltrami operator in this setting to study regularity properties of stochastic terms appearing in each of the problems.

研究动机与目标

• 将近期关于二维环面上随机与确定性非线性波动方程的结果推广至无边界的通用紧致二维黎曼流形。
• 通过空间依赖重整化，建立带加法时空白噪声和吉布斯分布初值的聚焦型随机阻尼非线性波动方程（SDNLW）的局部适定性。
• 利用Bourgain的不变测度论证，证明重整化SDNLW的几乎必然全局适定性及测度不变性。
• 将相同的适定性与不变性结果推广至无随机强迫的随机数据聚焦型NLW。
• 通过时空依赖重整化，建立无阻尼随机NLW在亚临界Sobolev空间中确定初值下的局部适定性。

提出的方法

• 为随机阻尼NLW引入空间依赖重整化，以控制非线性项与时空白噪声引起的发散。
• 利用紧致流形上拉普拉斯-贝尔特拉米算子的格林函数估计，分析随机项的正则性。
• 应用Bourgain的不变测度论证，证明重整化SDNLW的几乎必然全局存在性与测度不变性。
• 利用函数演算与紧致流形上的半经典伪微分演算，控制拉普拉斯-贝尔特拉米算子的谱性质。
• 使用随机分析与高斯测度的工具，建立随机卷积与非线性项的概率估计。
• 应用频率截断方案与迭代收敛论证，证明在临界Sobolev空间中正则化解的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将二维环面上随机阻尼NLW的适定性与吉布斯测度不变性结果推广至一般紧致二维黎曼流形？
• RQ2 如何利用空间依赖重整化处理紧致流形上NLW中由时空白噪声与非线性性引起的奇异性？
• RQ3 拉普拉斯-贝尔特拉米算子的格林函数估计在建立波动方程中随机项正则性方面起什么作用？
• RQ4 能否在无随机强迫的紧致流形上，对随机数据NLW获得相同的全局适定性与测度不变性结果？
• RQ5 时空依赖重整化如何实现无阻尼随机NLW在亚临界Sobolev空间中的局部适定性？

主要发现

• 在紧致二维流形上，重整化后的随机阻尼非线性波动方程在吉布斯测度分布初值下具有局部适定性。
• 通过Bourgain的不变测度论证，建立了重整化SDNLW的几乎必然全局适定性与吉布斯测度不变性。
• 相同的全局适定性与测度不变性结果也适用于无随机强迫的随机数据聚焦型NLW在紧致流形上。
• 通过时空依赖重整化，证明了无阻尼随机NLW在所有亚临界Sobolev空间中确定初值下的局部适定性。
• 通过频率截断设定下的迭代估计与柯西序列论证，建立了$C([0,T];\tilde{\rho}^{s}(\rho))$中正则化解的收敛性。
• 主要技术创新在于紧致流形上拉普拉斯-贝尔特拉米算子的格林函数估计，该估计使得对随机项的控制与非线性项正则性的把握成为可能。