[论文解读] Stochastic Nonparabolic dissipative systems modeling the flow of Liquid Crystals: Strong solution

Zdzisław Brzeźniak, Erika Hausenblas+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 23

一句话总结

本文在随机偏微分方程框架下，通过不动点论证，建立了描述向列型液晶在随机扰动下的非抛物耗散系统之局部、极大及全局强解的存在性与唯一性。在二维情形下，利用能量泛函控制方法证明了解的全局存在性；而在三维情形下，由于分析上的限制，仅能获得局部解。

ABSTRACT

In this paper we present some mathematical results obtained from the analysis of a stochastic evolution equation which basically describes a Ginzburg-Landau approximation of the system governing the nematic liquid crystals under the influence of fluctuating eternal forces. We mainly prove the existence and uniqueness of local a maximal nd global strong solution to the problem. Here strong solution is understood in the sense of stochastic calculus and PDEs. By a fixed point argument we firstly prove a general result which enables us to establish the existence of local and maximal solution to an abstract nonlinear stochastic evolution equations. Secondly, we show that our problem falls within the previous general framework. Therefore we are able to establish the existence and uniqueness of local and maximal strong solution for both 2D and 3D case. In the 2D case we prove nonexplosion of the maximal solution by a method based on a choice of an appropriate energy functionals. Thus the existence of a unique global strong solution in the 2D case.

研究动机与目标

• 分析在随机外部力作用下，向列型液晶动力学的随机Ginzburg-Landau近似模型。
• 在随机微积分与偏微分方程的意义下，建立强解的存在性与唯一性。
• 确定二维与三维情形下极大解是否保持非爆破，以确保全局存在性。
• 为非线性随机演化方程建立一个通用框架，适用于复杂流体模型。
• 拓展数学物理中耗散型随机系统理论理解。

提出的方法

• 通过在合适函数空间中运用不动点论证，推导出一类抽象非线性随机演化方程的一般存在性与唯一性结果。
• 将该框架应用于具体描述带有乘性噪声的向列型液晶的随机系统。
• 在二维情形下，通过精心选择的能量泛函控制解的增长，防止爆破。
• 能量泛函方法依赖于先验估计与伊藤公式，以有界方式控制解在时间上的增长。
• 在三维情形下，由于对非线性项控制不足，该方法仅能获得局部解。
• 分析在L2空间与Sobolev型空间中进行，以确保解的正则性与可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于带有随机驱动力的随机非抛物耗散系统，其向列型液晶模型是否存在强解？
• RQ2 在二维情形下，能否证明极大解为全局解，或其在有限时间内发生爆破？
• RQ3 在二维与三维设定下，何种条件可确保强解的唯一性？
• RQ4 能量泛函的选择如何影响二维情形下全局存在性的证明？
• RQ5 该通用不动点框架在多大程度上可推广至其他随机耗散PDE？

主要发现

• 通过不动点论证，为一类抽象非线性随机演化方程建立了通用的存在性与唯一性结果。
• 具体液晶模型属于该通用框架，使得抽象结果可直接应用。
• 在二维情形下，通过适当的能量泛函证明了极大解为全局解，且不发生爆破。
• 能量泛函方法成功控制了解的增长，确保了二维情形下的全局存在性。
• 在三维情形下，由于对非线性项控制不足，仅能建立局部与极大强解。
• 结果证实了随机Ginzburg-Landau模型在二维与三维下均具有适定性，且在二维情形下存在全局解。