[论文解读] Stochastic path integrals can be derived like quantum mechanical path integrals

John J. Vastola, William R. Holmes|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2019

Quantum Mechanics and Applications参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文提出了一种受量子力学启发的形式化方法，用于推导由福克-普朗克方程支配的系统的随机路径积分，实现了统一且系统的推导，其方式与标准量子力学路径积分技术相一致。该方法清晰地恢复了既有的形式，如Martin-Siggia-Rose-Janssen-De Dominicis和Onsager-Machlup形式，同时能够处理可变定义域、随机解释、时间依赖性以及乘性噪声，从而阐明了随机动力学与量子动力学之间深刻的数学类比。

ABSTRACT

Stochastic mechanics---the study of classical stochastic systems governed by things like master equations and Fokker-Planck equations---exhibits striking mathematical parallels to quantum mechanics. In this article, we make those parallels more transparent by presenting a quantum mechanics-like formalism for deriving a path integral description of systems described by stochastic differential equations. Our formalism expediently recovers the usual path integrals (the Martin-Siggia-Rose-Janssen-De Dominicis and Onsager-Machlup forms) and is flexible enough to account for different variable domains (e.g. real line versus compact interval), stochastic interpretations, arbitrary numbers of variables, explicit time-dependence, dimensionful control parameters, and more. We discuss the implications of our formalism for stochastic biology.

研究动机与目标

• 建立福克-普朗克方程随机路径积分的系统化、受量子力学启发的推导方法。
• 通过采用类似于量子路径积分推导的形式化方法，阐明随机力学与量子力学之间的数学类比。
• 通过引入更灵活且通用的框架，克服现有方法的局限性，如繁琐的雅可比行列式计算和离散化问题。
• 展示可变定义域（例如实直线与紧致区间）和随机解释如何影响路径积分的构建。
• 实现对具有任意变量、时间依赖性以及具有量纲参数的系统进行直接推广。

提出的方法

• 采用类似于量子力学路径积分推导的形式化方法，使用时间分段和跃迁振幅。
• 定义适应随机变量定义域的动量本征态和位置本征态（例如，傅里叶变换、拉普拉斯变换或傅里叶级数变换）。
• 通过将时间演化算符表示为福克-普朗克哈密顿量的时间分段指数乘积，构建路径积分。
• 采用一种特定的离散化方案，即作用量中的函数在每个时间区间的左端点（$x_j$）处求值，以确保一致性并避免歧义。
• 独立于离散化选择，处理不同的随机解释（例如伊藤、斯特拉托诺维奇），从而在路径积分构建中保持灵活性。
• 通过将福克-普朗克方程映射到哈密顿形式，从福克-普朗克方程推导出路径积分作用量，其中动量算符定义为 $\hat{p} = -\partial/\partial x$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用类似量子力学的推导方法，系统地推导出福克-普朗克动力学的随机路径积分？
• RQ2 变量定义域的选择（例如，$\mathbb{R}$，$[0,\infty)$，紧致区间）如何影响路径积分的构建及其相关的动量算符？
• RQ3 离散化在路径积分作用量中的作用是什么？它与不同的随机解释（例如，伊藤与斯特拉托诺维奇）有何关系？
• RQ4 该形式化方法如何推广到具有乘性噪声、时间依赖参数或高维状态空间的系统？
• RQ5 在此新形式化中，Doi-Peliti路径积分与福克-普朗克路径积分之间的精确关系是什么？

主要发现

• 该形式化方法成功地通过类似量子力学的推导，恢复了标准的Martin-Siggia-Rose-Janssen-De Dominicis和Onsager-Machlup路径积分。
• 路径积分作用量通过时间分段和福克-普朗克哈密顿量的指数化推导得出，作用量中的函数在离散化作用量中于 $x_j$ 处求值。
• 离散化选择（在 $x_j$ 与 $\bar{x}_j$ 处求值）解释了文献中报道的路径积分形式差异，例如是否存在 $f'$ 项。
• 动量算符 $\hat{p} = -\partial/\partial x$ 自然出现，并与定义域相关联：实直线使用傅里叶变换，$[0,\infty)$ 使用拉普拉斯变换，紧致区间使用傅里叶级数。
• 该形式化方法足够通用，可处理任意数量的变量、显式时间依赖性、具有量纲的参数，以及具有乘性噪声的系统。
• 该方法阐明了Doi-Peliti路径积分与福克-普朗克路径积分之间的联系，表明可通过哈密顿近似或作用量层面的简化，从一个推导出另一个。