[论文解读] Stochastic phase-field modeling of brittle fracture: computing multiple crack patterns and their probabilities

Tymofiy Gerasimov, Ulrich Römer+3 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Numerical methods in engineering参考文献 84被引用 42

一句话总结

本文提出了一种用于脆性断裂的随机相场模型，通过向变分能量泛函施加随机扰动，计算多种可能的裂纹模式及其概率。通过随机场的蒙特卡洛采样，该方法捕捉了裂纹模式中的空间相关性，并实现了基于中间裂纹状态的条件概率更新，为相场断裂建模中非唯一、确定性的解提供了一种概率化替代方案。

ABSTRACT

In variational phase-field modeling of brittle fracture, the functional to be minimized is not convex, so that the necessary stationarity conditions of the functional may admit multiple solutions. The solution obtained in an actual computation is typically one out of several local minimizers. Evidence of multiple solutions induced by small perturbations of numerical or physical parameters was occasionally recorded but not explicitly investigated in the literature. In this work, we focus on this issue and advocate a paradigm shift, away from the search for one particular solution towards the simultaneous description of all possible solutions (local minimizers), along with the probabilities of their occurrence. Inspired by recent approaches advocating measure-valued solutions (Young measures as well as their generalization to statistical solutions) and their numerical approximations in fluid mechanics, we propose the stochastic relaxation of the variational brittle fracture problem through random perturbations of the functional. We introduce the concept of stochastic solution, with the main advantage that point-to-point correlations of the crack phase fields in the underlying domain can be captured. These stochastic solutions are represented by random fields or random variables with values in the classical deterministic solution spaces. In the numerical experiments, we use a simple Monte Carlo approach to compute approximations to such stochastic solutions. The final result of the computation is not a single crack pattern, but rather several possible crack patterns and their probabilities. The stochastic solution framework using evolving random fields allows additionally the interesting possibility of conditioning the probabilities of further crack paths on intermediate crack patterns.

研究动机与目标

• 解决确定性相场断裂模型中因非凸能量泛函导致的解非唯一性问题，即存在多个局部极小值解。
• 克服标准方法仅返回单一裂纹模式而无法量化解不确定性的局限性。
• 开发一种随机解框架，将裂纹模式表示为随机场，以捕捉空间相关性并量化不同裂纹路径的概率。
• 实现基于部分发展裂纹状态的裂纹概率条件化，以实现实时评估演化断裂过程。
• 证明与确定性解相比，该随机方法对网格划分和几何扰动的敏感性更低。

提出的方法

• 通过向能量泛函中添加随机扰动，引入变分脆性断裂问题的随机松弛形式。
• 将随机解定义为经典解空间中的随机场，从而实现对裂纹模式及其不确定性的表示。
• 使用蒙特卡洛采样，从实现集合中近似统计矩和裂纹模式概率。
• 应用核密度估计计算裂纹与某条线相交的概率密度函数，以实现条件概率更新。
• 利用分离表示和随机场公式，高效建模相场中的空间相关性。
• 采用贝叶斯定理实现条件策略，计算在观测到特定中间裂纹构型时，特定裂纹类型的概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地量化并按概率对相场断裂中的多种非唯一裂纹模式进行排序？
• RQ2 能量泛函的随机扰动能否产生稳定且具有代表性的裂纹路径概率描述？
• RQ3 相场中的空间相关性在多大程度上影响计算裂纹概率的可靠性和物理解释一致性？
• RQ4 裂纹概率在扩展过程中如何演化？能否基于部分裂纹发展情况进行更新？
• RQ5 与确定性求解器相比，该随机解概念是否降低了对数值伪影（如网格划分和几何扰动）的敏感性？

主要发现

• 在 η = 0.01 且 M = 200 次蒙特卡洛采样的反平面剪切试验中，三种不同裂纹类型的概率分别为 p₁ ≈ 0.325、p₂ ≈ 0.335 和 p₃ ≈ 0.340，表明其可能性接近相等。
• 当扰动幅度增加至 η = 0.02 时，概率略微变化为 p₁ = 0.30、p₂ = 0.33 和 p₃ = 0.37，与预期物理规律一致，证实了对扰动类型的依赖性。
• 条件概率分析表明，在 n = 9 次加载步骤后，向左偏移的裂纹其类型1概率从约 0.5 降至接近零，至 n = 11 时已几乎为零，表明对早期裂纹偏移具有强敏感性。
• 对于初始向右偏移的裂纹，其穿过孔洞的概率在 n = 11 时显著下降，表明早期形态强烈影响最终裂纹路径的概率。
• 该随机解框架成功捕捉了相场中的空间相关性，实现了标准 Young 测度无法实现的条件概率更新。
• 数值结果表明，与确定性解相比，该随机解在数值设置变化下表现出更低的敏感性，表明其在实际应用中具有更高的鲁棒性。