[论文解读] Stochastic processes on non-Archimedean spaces with values in non-Archimedean fields

S. V. Lüdkovsky, A. Yu. Khrennikov|ArXiv.org|Oct 28, 2001

advanced mathematical theories参考文献 31被引用 45

一句话总结

本文通过证明非阿基米德域上拓扑向量空间上随机过程的非阿基米德版柯尔莫哥洛夫定理，建立了非阿基米德随机分析框架，其中转移测度也取值于此类域。该文引入了非阿基米德马尔可夫过程与泊松过程，证明了非阿基米德版的莱维定理，并利用 $p$-进和非阿基米德概率测度构造了广泛的随机过程类。

ABSTRACT

Stochastic processes on topological vector spaces over non-Archimedean fields and with transition measures having values in non-Archimedean fields are defined and investigated. For this the non-Archimedean analog of the Kolmogorov theorem is proved. The analogos of Markov and Poisson processes are studied. For Poisson processes the corresponding Poisson measures are considered and the non-Archimedean analog of the Lèvy theorem is proved. Wide classes of stochastic processes are constructed.

研究动机与目标

• 为非阿基米德域上的拓扑向量空间建立严谨的随机分析框架，将经典随机过程推广至非阿基米德设定。
• 定义并研究取值于非阿基米德域的转移测度的随机过程，填补现有文献中的空白。
• 证明从有限维分布构造随机过程的非阿基米德版柯尔莫哥洛夫定理。
• 研究非阿基米德马尔可夫与泊松过程的类比，包括其相关测度与特征函数。
• 建立非阿基米德域上的莱维定理版本，将经典结果推广至非阿基米德概率空间。

提出的方法

• 在取值于完备非阿基米德域的覆盖环上定义 $p$-进与非阿基米德概率测度，满足可加性、有界性与连续性条件。
• 引入收缩族概念，并利用极限结构定义非阿基米德测度论中的收敛性与可积性。
• 构造 $\mu$-可积函数，并通过 $\mu$-范数与 $\phi$-加权上确界定义 $\mu$-可积函数的巴拿赫空间 $L(\mu)$。
• 定义非阿基米德圆柱分布，并证明马尔可夫型过程的有界性/无界性性质。
• 利用指数函数 $Exp$ 与 $EXP$ 的局部解析延拓，在非阿基米德设定中定义特征函数与矩生成函数。
• 通过关于泊松测度 $n(dl)$ 的随机积分构造泊松过程，使用简单函数逼近与关于划分 $\cal Z$ 的极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在取值于非阿基米德域的非阿基米德拓扑向量空间上严谨定义随机过程？
• RQ2 如何构造从有限维分布出发的非阿基米德柯尔莫哥洛夫定理的非阿基米德类比？
• RQ3 非阿基米德马尔可夫与泊松过程在结构与测度论性质上如何区别于其经典对应物？
• RQ4 能否为取值于非阿基米德域的测度证明非阿基米德版的莱维定理？
• RQ5 非阿基米德函数分析中缺乏线性序与不定积分对随机过程构造有何影响？

主要发现

• 证明了非阿基米德版柯尔莫哥洛夫定理，使得可从非阿基米德空间上的一致有限维分布构造随机过程。
• 通过圆柱分布定义非阿基米德马尔可夫过程，并在命题 3.3.1 与 3.3.2 中刻画其有界性与无界性。
• 建立了非阿基米德版的莱维定理，表明泊松过程的特征函数满足 $\psi(\rho) = \rho m_0 + \int_{\bf K} [1 - EXP(-\rho l)] n(dl)$，其中 $n$ 为泊松测度。
• 构造了时间参数取值于 $p$-进域或一般群（包括 adeles 与 ideles）的随机过程，并在定理 4.3 中证明其存在性。
• 通过非阿基米德测度构造了广泛的随机过程类，并证明解可表示为 $\xi(t,\omega) = t m_0 + \int_{\bf K} l \mathcal{\eta}(t,dl,\omega)$，具有泊松型矩结构。
• 关于划分 $\cal Z$ 的特征函数极限给出 $M_t[EXP(-\rho \xi(t,\omega))] = EXP(-\rho t m_0) \cdot EXP\left(-\rho t \int_{\bf K} (1 - EXP(-\rho l)) n(dl)\right)$，确认了随机过程的结构。