[论文解读] Stochastic quantization of Liouville conformal field theory

Tadahiro Oh, Tristan Robert+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 44被引用 9

一句话总结

该论文在紧致黎曼曲面上建立了带时空白噪声的随机非线性热方程的几乎必然全局适定性与测度不变性，统一构建了 $L^2$ 范畴（$0 < \beta < \sqrt{2}$）下任意亏格曲面上的里夫利乌斯量子重力（LQG）测度。证明了LQG测度与光滑逼近方案无关，并将先前结果推广至高亏格曲面。

ABSTRACT

We study a nonlinear stochastic heat equation forced by a space-time white noise on closed surfaces, with nonlinearity $e^{βu}$. This equation corresponds to the stochastic quantization of the Liouville quantum gravity (LQG) measure. (i) We first revisit the construction of the LQG measure in Liouville conformal field theory (LCFT) in the $L^2$ regime $0 1$ respectively. Moreover, our argument shows that this measure is independent of the approximation procedure for a large class of smooth approximations. (ii) We prove almost sure global well-posedness of the parabolic stochastic dynamics, and invariance of the measure under this stochastic flow. In particular, our results improve previous results obtained by Garban (2020) in the cases of the sphere and the torus with their canonical metric, and are new in the case of closed surfaces with higher genus.

研究动机与目标

• 在 $L^2$ 范畴（$0 < \beta < \sqrt{2}$）下，统一并推广在亏格为 0、1 和 >1 的闭曲面上的里夫利乌斯量子重力（LQG）测度的构造。
• 在紧致黎曼曲面的二维流形上，建立带时空白噪声的随机非线性热方程的几乎必然全局适定性。
• 证明由动力学生成的随机流下LQG测度的不变性。
• 证明LQG测度对一大类逼近方案中光滑逼近过程的选择具有独立性。
• 将先前仅限于球面和环面的结果推广至高亏格曲面的设定。

提出的方法

• 将里夫利乌斯共形场论（LCFT）的随机量子化重新表述为带有指数非线性项 $e^{\beta u}$ 和时空白噪声驱动的抛物型随机PDE。
• 应用高斯乘法混沌（GMC）理论，通过正则化指数泛函的极限构造LQG测度。
• 在紧致流形上应用Schauder估计与Schwartz乘子理论，以控制非线性项并确保解的正则性。
• 利用Cameron-Martin理论与Moser-Trudinger型不等式，分析在测度扰动下吉布斯测度的行为。
• 应用先验估计与紧致性论证，证明随机热方程解的几乎必然全局存在性与唯一性。
• 通过证明任意时间 $t \geq 0$ 下解的分布与初始LQG测度一致，建立测度不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L^2$ 范畴下，是否可以对所有紧致黎曼曲面（无论亏格如何）统一构造里夫利乌斯共形场论（LCFT）中的LQG测度？
• RQ2 在一般紧致曲面上，带时空白噪声的非线性随机热方程的随机量子化动力学是否几乎必然全局适定？
• RQ3 由动力学生成的随机流下，LQG测度是否保持不变？
• RQ4 LQG测度是否对噪声与场的光滑逼近过程的选择具有独立性？
• RQ5 能否将球面与环面的结果推广至高亏格曲面？

主要发现

• 在 $L^2$ 范畴 $0 < \beta < \sqrt{2}$ 下，LQG测度被统一构造于所有紧致、闭合、可定向黎曼曲面（任意亏格）上，统一了此前对亏格 0、1 和 >1 的结果。
• 在任意紧致黎曼曲面上，随机非线性热方程对所有 $t \geq 0$ 几乎必然全局适定，将先前结果推广至高亏格曲面。
• LQG测度在由动力学生成的随机流下保持不变，即任意时间 $t \geq 0$ 下解的分布与初始LQG测度一致。
• LQG测度对一大类逼近方案（包括基于谱截断的方案）的光滑逼近过程具有独立性。
• 该构造在度量的共形变换下具有鲁棒性，且依赖于流形上的内在几何分析。
• 论文证明当 $\nu < 0$ 时，Høegh-Krohn划分函数发散，表明在负宇宙学常数范畴下吉布斯测度不存在。