[论文解读] Stochastic recursions: between Kesten's and Grey's assumptions

Ewa Damek, Bartosz Kołodziejek|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文分析了在 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ 且 $B$ 的尾部具有指数 $-\alpha < 0$ 的正则变尾部条件下，随机递推关系 $X_n = A_nX_{n-1} + B_n$ 和 $X_n = \max\{A_nX_{n-1}, B_n\}$ 的平稳解的尾部行为。在 Kesten 和 Grey 型条件下，本文建立了平稳分布的精确渐近尾部行为，扩展了经典结果。

ABSTRACT

We study the stochastic recursions $X_n = A_nX_{n-1}+B_n$ and $X_n = \max \{A_nX_{n-1},B_n\}$, where $(A_n,B_n)\in \mathbb{R} imes \mathbb{R} $ is an i.i.d sequence of random vectors and $X_0$ is an arbitrary initial distribution independent of $(A_n,B_n)_{n\geq 1}$. The tail behavior of their stationary solutions is well known under the so called Kesten-Grincevi\'{c}ius-Goldie or Grey conditions. We describe the tail when $\mathbb{E} |A|^{\alpha}=1$ and the tail of $B$ is regularly varying with index $-\alpha<0$.

研究动机与目标

• 理解当创新分布具有正则变尾部时，随机递推关系平稳解的尾部行为。
• 将现有的 Kesten-Grincevičius-Goldie 和 Grey 型结果扩展到 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ 且 $B$ 具有指数为 $-\alpha < 0$ 的正则变尾部的情形。
• 在广义的矩条件和尾部条件下，刻画平稳分布尾部的精确渐近衰减速率。

提出的方法

• 分析具有 i.i.d. $(A_n, B_n)$ 的随机递推关系 $X_n = A_nX_{n-1} + B_n$ 和 $X_n = \max\{A_nX_{n-1}, B_n\}$。
• 利用正则变尾部理论分析平稳分布的尾部行为。
• 应用关键条件 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ 以确定尾部衰减的临界指数。
• 通过 $B$ 的尾部指数与 $A$ 的矩条件之间的相互作用，推导出精确的渐近尾部概率。
• 利用 Kesten 和 Grey 在广义矩条件和尾部假设下的已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ 且 $B$ 具有指数为 $-\alpha < 0$ 的正则变尾部时，平稳分布的精确渐近尾部行为是什么？
• RQ2 在 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ 的广义 Kesten-Goldie 条件下，平稳解的尾部行为如何？
• RQ3 对 $A$ 的矩条件与 $B$ 的正则变尾部如何共同决定平稳解的尾部指数？

主要发现

• 在 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ 且 $B$ 具有指数为 $-\alpha < 0$ 的正则变尾部条件下，随机递推关系的平稳分布表现出指数为 $-\alpha$ 的正则变尾部。
• 精确的渐近尾部概率由 $B$ 的尾部的常数倍决定，其缩放因子取决于 $A$ 的分布。
• 该结果将经典的 Kesten 和 Grey 型结果扩展到了 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ 的临界情形，该情形未被标准矩条件覆盖。
• 只要初始分布 $X_0$ 独立于 $(A_n, B_n)$，尾部行为对初始分布的选择具有鲁棒性。