[论文解读] Stochastic Representations for Solutions to Parabolic Dirichlet Problems for Nonlocal Bellman Equations

Ruoting Gong, Chenchen Mou+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文为有界域内退化Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）积分-偏微分方程（integro-PDE）的粘性解建立了随机表示公式，证明了唯一粘性解等于相关随机最优控制问题的值函数。证明依赖于逼近技术、粘性解理论以及对退出时间和Lévy过程的细致分析，其中动态规划原理作为关键结果被推导出来。

ABSTRACT

We prove a stochastic representation formula for the viscosity solution of Dirichlet terminal-boundary value problem for a degenerate Hamilton-Jacobi-Bellman integro-partial differential equation in a bounded domain. We show that the unique viscosity solution is the value function of the associated stochastic optimal control problem. We also obtain the dynamic programming principle for the associated stochastic optimal control problem in a bounded domain.

研究动机与目标

• 为有界域内具有Dirichlet终端-边界条件的退化HJB积分-PDE的粘性解建立随机表示公式。
• 证明唯一粘性解与相关随机最优控制问题的值函数一致。
• 在有界域中严格推导随机控制问题的动态规划原理，弥补先前文献中的技术空白。
• 通过涉及非退化、有限控制集和光滑逼近方程的逼近方法，应对有界域带来的挑战。

提出的方法

• 通过使用具有有限控制集和光滑数据的系数序列，在略微扩大的域上逼近原始退化HJB积分-PDE，得到非退化方程。
• 利用障碍函数和截断技术构造粘性上解与下解，确保一致连续性与边界一致性。
• 使用Perron方法获得原方程的粘性解，然后通过逼近极限验证其满足值函数性质。
• 应用[31]中关于积分-PDE的粘性解理论，依赖于域的温和正则性假设以及边界处的非退化性。
• 分析Lévy驱动扩散过程的退出时间与行为，以控制边界效应并确保逼近的收敛性。
• 通过一致有界性与粘性解稳定性，验证验证条件，从而建立动态规划原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界域内退化HJB积分-PDE的唯一粘性解是否可表示为随机最优控制问题的值函数？
• RQ2 在具有Dirichlet边界条件的有界域中，由Lévy过程驱动的随机控制问题的动态规划原理是否成立？
• RQ3 在非局部算子存在的情况下，如何构造尊重边界数据与终端条件的统一粘性上解与下解？
• RQ4 何种逼近方案可确保经典解在有界域中收敛于原问题的粘性解？
• RQ5 在域与系数的何种正则性与非退化性假设下，值函数保持连续并满足HJB积分-PDE？

主要发现

• 退化HJB积分-PDE的Dirichlet终端-边界值问题的唯一粘性解被识别为相关随机最优控制问题的值函数。
• 建立了随机表示公式，将解与有界域内受控跳扩散过程的期望代价-至终点的关联起来。
• 在有界域中，对具有非局部动力学的随机控制问题，动态规划原理被严格证明，扩展了已知结果。
• 构造的粘性下解与上解实现了与逼近参数无关的一致连续性，确保了极限下的稳定性。
• 证明依赖于一种新颖的逼近方案，使用非退化、有限控制集和光滑逼近方程，通过精确的退出时间与过程行为估计建立了收敛性。
• 通过构造在梯度上具有统一下界的障碍函数，确保了在整个域边界上粘性上解性质的有效性。