[论文解读] Stochastic Schrodinger equations

Luc Bouten, Guta, Madalin+1 more|TU/e Research Portal (Eindhoven University of Technology)|Sep 29, 2003

Quantum Information and Cryptography参考文献 36被引用 41

一句话总结

本文利用量子滤波理论推导了开放量子系统的随机薛定谔方程，展示了连续测量（如光子计数和本振检测）如何通过条件期望生成态轨迹。主要贡献在于使用量子随机微积分系统地推导了这些方程，针对两能级原子的共振荧光给出了明确结果。

ABSTRACT

A derivation of stochastic Schrodinger equations is given using quantum filtering theory. We study an open system in contact with its environment, the electromagnetic field. Continuous observation of the field yields information on the system: it is possible to keep track in real time of the best estimate of the system's quantum state given the observations made. This estimate satisfies a stochastic Schrodinger equation, which can be derived from the quantum stochastic differential equation for the interaction picture evolution of system and field together. Throughout the paper we focus on the basic example of resonance fluorescence.

研究动机与目标

• 通过量子滤波理论，提供一种严格且基础的随机薛定谔方程推导方法。
• 阐明标准量子轨迹方法与基于滤波的方法之间的概念性区别。
• 证明通过扩散极限推导出的随机薛定谔方程与通过量子滤波推导出的方程之间的等价性。
• 提出一种推导任意开放量子系统和测量方案下随机薛定谔方程的通用方法。
• 建立测量过程（光子计数、本振检测）与系统态相应随机演化之间的联系。

提出的方法

• 使用量子滤波理论，根据连续测量记录计算系统可观测量的条件期望。
• 应用带有伊藤表的量子随机微积分，推导控制系统态演化过程的随机微分方程。
• 将随机薛定谔方程作为系统态在场测量条件下的量子滤波方程（贝拉夫斯基方程）推导出来。
• 考虑两种测量方案：光子计数（跳跃型动力学）和本振检测（具有连续路径的扩散极限）。
• 通过两种独立路径推导方程：(1) 标准量子轨迹方法结合扩散极限，(2) 直接滤波推导，突出概念上的差异。
• 采用马尔可夫近似，并通过量子随机微分方程联合描述系统与场的幺正演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从开放量子系统的连续测量过程中系统地推导出随机薛定谔方程？
• RQ2 在描述系统演化时，量子轨迹方法与量子滤波方法之间的精确数学关系是什么？
• RQ3 不同的测量方案——光子计数与本振检测——如何导致不同的随机薛定谔方程？
• RQ4 量子随机微积分在推导系统态条件期望动力学中起到什么作用？
• RQ5 对于共振荧光中的两能级原子，滤波方程如何用物理可观测量和测量过程表示？

主要发现

• 光子计数的随机薛定谔方程被推导为由计数过程驱动的跳跃型方程，条件态通过光子探测的跳跃而演化。
• 对于本振检测，随机薛定谔方程呈现扩散形式，噪声项由光子计数的扩散极限导出，导致态空间中连续的路径。
• 推导出的方程与先前假设的贝拉夫斯基方程等价，证实了其物理与数学的一致性。
• 滤波方法的创新之处在于直接利用量子随机微积分推导条件期望，避免了启发式的极限过程。
• 条件期望动力学被证明是马尔可夫过程，由漂移和扩散项构成的线性随机微分方程所控制，其系数取决于测量相互作用。
• 本文确立了测量过程（例如，$Y_t = X_φ(t)$）及其关联的鞅$\tilde{Y}_t$决定了方程中随机项的结构。