[论文解读] Stochastic solutions for space-time fractional evolution equations on bounded domain

Lorenzo Toniazzi|arXiv (Cornell University)|May 7, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文建立了有界区域上具有时间非局部初值条件的空间-时间分数阶演化方程的经典解的存在性、唯一性以及一种新颖的随机表示。解以时间改变的 Lévy 过程上的期望形式表达，通过逆稳定子ordinator 和稳定 Lévy 过程将经典的费曼-卡茨公式推广至非马尔可夫、非局部动力系统，其关键技术贡献为关于非齐次 Caputo 方程的新结果。

ABSTRACT

Space-time fractional evolution equations are a powerful tool to model diffusion displaying space-time heterogeneity. We prove existence, uniqueness and stochastic representation of classical solutions for an extension of Caputo evolution equations featuring nonlocal initial conditions. We discuss the interpretation of the new stochastic representation. As part of the proof a new result about inhomogeneous Caputo evolution equations is proven.

研究动机与目标

• 建立有界区域上具有时间非局部初值条件的非齐次空间-时间分数阶演化方程经典解的存在性与唯一性。
• 通过时间改变的 Lévy 过程推导解的随机表示，将经典费曼-卡茨框架推广至非马尔可夫、非局部动力系统。
• 提供一种涉及首达出时间与通过逆稳定子ordinator 进行路径时间改变的解的随机解释。
• 证明关于非齐次 Caputo 演化方程的新结果，作为该分析中的基础步骤。
• 将随机解框架推广至包含非局部初值数据和有界区域上 Dirichlet 边界条件下非齐次强迫项的情形。

提出的方法

• 通过涉及两个独立过程的期望构造解：时间改变的布朗运动和时间改变的 $α$-稳定 Lévy 过程。
• 时间改变由 $β$-稳定子ordinator 的逆驱动，从而在动力系统中引入非马尔可夫性与亚扩散行为。
• 随机表示显式地结合了 $α$-稳定 Lévy 过程从区域 $Ω$ 中首达出时间 $τ_{Ω}(x)$，以确保满足边界条件。
• 解公式通过独立的期望项同时处理非局部初值条件 $φ(t,x)$ 和非齐次强迫项 $g(t,x)$。
• 证明依赖于受限分数阶拉普拉斯算子 $Δ_{Ω}^{α/2}$ 的谱理论，以及使用马特莱夫勒函数处理分数阶时间导数。
• 一个关键技术步骤是证明光滑紧支集函数在边界上连续并趋于零的函数空间中的稠密性，从而支持逼近论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在有界区域上构造具有时间非局部初值条件的空间-时间分数阶演化方程的经典解？
• RQ2 此类方程的解的随机表示是什么？它如何推广经典费曼-卡茨公式？
• RQ3 时间改变的 Lévy 过程与区域首达出时间之间的相互作用如何影响解的行为与边界条件？
• RQ4 逆 $β$-稳定子ordinator 在时间非局部设定下建模非马尔可夫性与亚扩散动力学中起什么作用？
• RQ5 能否建立关于非齐次 Caputo 演化方程的新结果，以支持在此非局部框架下解的存在性与唯一性？

主要发现

• 本文证明了在有界区域上，具有时间非局部初值条件的非齐次空间-时间分数阶演化方程的经典解的存在性与唯一性。
• 推导出一种新的随机表示：$υ(t,x) = ×ε[\phi(-X^{t,β}(\tau_0(t)), X^{x,α}(\tau_0(t))) \mathbf{1}_{\{\tau_0(t)<\tau_{Ω}(x)\}}] + ×ε[\int_0^{\tau_0(t)\wedge\tau_{Ω}(x)} g(-X^{t,β}(s), X^{x,α}(s)) ds]$，该表示推广了费曼-卡茨公式。
• 解被解释为沿时间改变的 $α$-稳定 Lévy 过程路径的初始数据的期望值，该过程在离开区域时被“杀死”，其时间演化由逆 $β$-稳定子ordinator 控制。
• 该随机表示通过路径期望与时间改变积分，自然地结合了非局部初值条件与非齐次强迫项。
• 证明了一项关于非齐次 Caputo 演化方程的新结果，这对于在非局部设定下建立解的存在性与唯一性至关重要。
• 证明了 $C_c^∞((0,T]) \cdot C_c^∞(Ω)$ 在 $C_{0,∂Ω}([0,T] \times \u03a9)$ 中的稠密性，从而在解框架中支持逼近技术。