[论文解读] Stochastic synthesis-degradation processes: first-passage properties and connections with resetting

Gabriel Mercado-Vásquez, Denis Boyer|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2026

Diffusion and Search Dynamics被引用 0

一句话总结

本文分析随机合成-降解（SSD）过程的首达性质，将其与重置联系起来，推导 MFPT 优化、通用尺度关系以及跨领域的成本考量。

ABSTRACT

Processes controlled by stochastic synthesis and degradation (SSD) are widespread in biology but their reaction kinetics are not well understood. Using methods borrowed from the theory of resetting processes, we determine the first-passage properties of a collection of independent particles that are synthesized and degraded at constant rates, and follow an arbitrary diffusive process in space. At equal synthesis and degradation rates, the mean reaction time with a target site can be minimized as in stochastic resetting, and a $CV$-criterion is derived. When the degradation rate is held fixed and the synthesis costs are taken into account, an optimal synthesis rate is obtained. In bounded domains, despite particle degradation, SSD improves the mean search time compared to a single non-degrading particle if the synthesis rate exceeds a critical value. The latter obeys a universal relation. We illustrate these findings with Brownian diffusion on the infinite line and in an interval.

研究动机与目标

• 对具有独立扩散粒子的SSD过程，在受限的合成与降解条件下，量化首达时间统计。
• 将SSD 动力学与随机重置联系起来，并确定在何种条件下SSD 可优化搜索时间。
• 推导通用尺度关系、MFPT 最小值，以及在开放与有界域中对SSD 的成本感知优化。
• 给出无限域与有界几何中的布朗运动的显式结果，以说明SSD 的效应。

提出的方法

• 将SSD 建模为体积密度ρ(x,t)的演化方程 ∂tρ(x,t)=DΔρ(x,t)−dρ(x,t)+bδ(x−x0)。
• 利用续发-似的关系推导SSD 的生存概率 Q^(0)(t) 与 Q^(1)(t)；得到 Q^(0)(t)=exp[−b∫0^t du (1−q_d(u))]。
• 用底层单粒子首达时间 P0(t) 与降解率 d 的关系来表达 MFPT T_{b,d}=∫0^∞ dt e^{−b∫0^t du e^{−du}(t−u)P0(u)}−1/b。
• 当 b=d（或 r）时，将SSD 与随机重置联系起来，并将 MFPT 与 SR 结果进行比较。
• 通过关系 b_c(d)=(1/CV)√[2d/⟨T0⟩]+… 推导出界限域中的通用临界合成率，并讨论其与几何无关性。
• 通过 ⟨n⟩=1+bT_{b,d} 的成本分析以及总成本 Θ_{b,d}=T_{b,d}+λ⟨n⟩，包含成本分析。

Figure 1: a) In SSD, independent particles following an arbitrary stochastic motion are synthesized with rate $b$ at $x_{0}$ and degrade with rate $d$ . b) In SR, a single particle is instantaneously reset to its starting position $x_{0}$ with rate $r$ . Even when $b=d=r$ , the two processes have di

实验结果

研究问题

• RQ1 SSD 过程在常数合成与降解速率下的首达时间统计是什么？
• RQ2 在何种条件下SSD 过程相对于无降解的粒子可以加速目标搜索，最优合成速率如何随降解变化而变化？
• RQ3 临界合成速率 b_c(d) 的通用尺度关系是如何产生的，对不同几何形状意味着什么？
• RQ4 合成成本如何影响SSD 的优化，SSD 与随机重置在 MFPT 与成本方面有何差异？
• RQ5 在无界与有界域中，SSD 下布朗运动的显式 MFPT 行为如何？

主要发现

• SSD 框架给出与基础的非降解 FPT 统计 P0(t) 相关的明确生存概率 Q^(0)(t) 和 Q^(1)(t)。
• 平均反应时间 τ_{b,d}=1/[b P̃0(d)] 在任意 b>0 下均为有限，并且在某些情形（如 1D 布朗运动）可达到最小值，存在最优合成速率。
• 当 b=d=r 时，MFPT T_{r,r} 对 r 非单调并存在最小值 r_min；SSD 的性能可胜过单个非降解搜索者，取决于 CV 与几何。
• 在有界域中存在的通用临界合成率尺度关系为 b_c(d)= (1/CV)√(2d/⟨T0⟩) + 更高阶项，与扩散几何无关。
• SSD 引入续发-样结构，成本项 ⟨n⟩=1+bT_{b,d}，对应总成本 Θ_{b,d}=T_{b,d}+λ⟨n⟩，并产生其自身的最优区间。
• 与随机重置相比，SSD 可能产生不同的 MFPT 行为，包括在小参数极限时的两倍跳变以及不同的小参数展开。

Figure 2: SSD Brownian particles with $D=1$ starting from $x_{0}=1$ on the semi-infinite line with an absorbing boundary at $x=0$ . a) MFPT in Eq. ( 10 ) (blue line) and average number of synthesized particles until absorption (red line, right y-axis) with $b=d=r$ . For comparison we depict the MFPT