[论文解读] Stochastic Target Games and Dynamic Programming via Regularized Viscosity Solutions

Bruno Bouchard, Marcel Nutz|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用 3

一句话总结

本文在模型不确定性下为随机目标博弈建立了一种几何动态规划原理，其中一名玩家必须在对抗性控制下确保几乎必然达成目标。文章提出一种基于正则化的创新方法，利用光滑上解构造可测的几乎最优马尔可夫策略，从而将价值函数表征为非线性PDE的唯一有界粘性解。

ABSTRACT

We study a class of stochastic target games where one player tries to find a strategy such that the state process almost-surely reaches a given target, no matter which action is chosen by the opponent. Our main result is a geometric dynamic programming principle which allows us to characterize the value function as the viscosity solution of a non-linear partial differential equation. Because abstract mea-surable selection arguments cannot be used in this context, the main obstacle is the construction of measurable almost-optimal strategies. We propose a novel approach where smooth supersolutions are used to define almost-optimal strategies of Markovian type, similarly as in ver-ification arguments for classical solutions of Hamilton--Jacobi--Bellman equations. The smooth supersolutions are constructed by an exten-sion of Krylov's method of shaken coefficients. We apply our results to a problem of option pricing under model uncertainty with different interest rates for borrowing and lending.

研究动机与目标

• 建立适用于在对抗性控制下几乎必然达成目标的随机目标博弈的几何动态规划原理（GDP）
• 克服在非马尔可夫、非可分策略空间中构造可测几乎最优策略的根本性挑战
• 开发一种新颖的正则化技术，利用Krylov的系数抖动法构造光滑上解，从而生成马尔可夫策略
• 将价值函数表征为包含对控制取下确界的非线性汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程的唯一有界粘性解
• 将该框架应用于具有不同借贷利率的模型不确定性下的期权定价问题，捕捉Knightian不确定性

提出的方法

• 提出一种几何动态规划原理（GDP），将经典GDP推广至具有对抗性控制的随机目标博弈
• 以HJB方程的光滑上解为基础，通过正则化过程构造几乎最优的马尔可夫策略
• 应用Krylov的系数抖动法，构造满足所需正则性和增长条件的光滑、一致有界上解
• 通过上解的光滑性和一致有界性，建立几乎最优策略的可测选择的存在性
• 证明价值函数是包含对控制取下确界的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼算子的非线性PDE的唯一有界粘性解
• 通过等价测度下的超鞅论证（利用Doléan-Dade指数）验证边界条件和价值函数的连续性

实验结果

研究问题

• RQ1 当可测选择论证失效时，能否为具有对抗性控制的随机目标博弈建立几何动态规划原理？
• RQ2 在策略空间不可分且对对手控制依赖关系不规则的情况下，如何构造几乎最优策略？
• RQ3 Krylov的系数抖动法能否扩展至博弈论框架中，以构造生成可测马尔可夫策略的光滑上解？
• RQ4 在具有随机波动率和不同借贷利率的模型中，超对冲价格的PDE表征是什么？
• RQ5 在Knightian不确定性下，特别是当漂移和波动率由对手控制时，价值函数的行为如何？

主要发现

• 价值函数连续，且是包含对控制取下确界的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼算子的非线性PDE的唯一有界粘性解
• 在所提出的正则化框架下，几何动态规划原理（GDP）成立，GDP1和GDP2均成立
• 通过Krylov的系数抖动法构造的光滑上解可生成可测的、马尔可夫的几乎最优策略，从而克服可测选择问题
• 在具有不同借贷利率的模型不确定性下，超对冲价格被表征为具有特定HJB结构的非线性PDE的解
• 价值函数在一族等价测度下满足超鞅性质，确保其连续性和有界性
• 该框架适用于具有Knightian不确定性的金融问题，其中漂移和波动率由对手控制，且利率取决于交易方向