[论文解读] Stochastic Theory of Quantum Mechanics

M. Godart|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Statistical Mechanics and Entropy被引用 3

一句话总结

本文通过将粒子轨迹建模为马尔可夫扩散过程的样本路径，为非相对论性量子力学提出了一个随机基础，以条件概率密度作为波函数的替代品。它推导出薛定谔方程和奈尔森方程，以确定漂移和扩散系数，并表明波函数坍缩是初始条件更新的产物，而非物理过程。

ABSTRACT

The stochastic theory of non-relativistic quantum mechanics presented here relies heavily upon the theory of stochastic processes, with its definitions, theorems and specific vocabulary as well. Its main hypothesis states indeed that the classical trajectories of the particles are identical to the sample functions of a diffusion Markov process, whose conditional probability density is proposed as a substitute for the wave function. The Schroedinger equation and the so-called Nelson equations are used to determine the diffusion tensor and the drift vectors characteristic of such a process. It is then possible to write down the forward and backward Kolmogorov equations that are used to determine the conditional probability density, as well as the Fokker-Planck equation that is used to determine the normal probability density. This method is applied to several simple cases and the results obtained are compared with those of the orthodox theory. Among the most important differences let us mention that any system evolving freely from any original state returns spontaneously to its ground state, that the definitions of the particles velocities and momenta are impossible because the sample functions of a diffusion Markov process nowhere possess a derivative with respect to time and that the so-called collapse of the wave function is a mere mirage explained by the updating choice between new and older initial conditions in the resolution of partial differential equations. We finally attempt to extend the proposed theory to the domain of the relativistic quantum mechanics. It is promising but is clearly unfinished because it has not been possible up to now to solve the Nelson and Kolmogorov equations, except in the very simple case of a free particle.

研究动机与目标

• 通过随机过程作为基础框架，重新表述非相对论性量子力学。
• 用来自扩散马尔可夫过程的条件概率密度替代波函数。
• 从随机动力学推导出薛定谔方程和奈尔森方程，并验证其与标准量子力学的一致性。
• 重新解释测量过程，特别是将波函数坍缩视为偏微分方程中初始条件更新的结果。
• 将随机框架扩展至相对论性量子力学，尽管该扩展尚未完成。

提出的方法

• 将粒子轨迹建模为马尔可夫扩散过程的样本路径，其中条件概率密度替代波函数。
• 利用薛定谔方程和奈尔森的随机力学，确定该过程的漂移矢量和扩散张量。
• 推导前向和后向柯尔莫哥洛夫方程，以描述条件概率密度的时间演化。
• 应用福克-普朗克方程，确定该过程的正规（边缘）概率密度。
• 将该框架应用于简单量子系统（例如自由粒子、谐振子），并与标准量子理论结果进行比较。
• 尝试将随机形式化推广至相对论性量子力学，尽管完整解仍未解决，仅自由粒子情况有解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于马尔可夫扩散的随机过程框架，一致地推导出非相对论性量子力学？
• RQ2 薛定谔方程和奈尔森方程如何从随机过程的动力学中涌现？
• RQ3 在此随机模型中，波函数坍缩的物理意义是什么？
• RQ4 为何该随机模型中的轨迹缺乏时间导数，这对速度和动量的定义有何影响？
• RQ5 是否可能将此随机形式化推广至相对论性量子力学，主要障碍是什么？

主要发现

• 该随机过程的条件概率密度可直接作为量子力学中波函数的替代品。
• 薛定谔方程和奈尔森方程作为随机动力学的推论被推导出来，将量子行为与扩散过程联系起来。
• 在该随机模型中，任何从任意初始状态自由演化的系统都会自发返回其基态，这种行为在标准量子力学中并不存在。
• 由于扩散过程的样本路径几乎处处不可微，粒子的速度和动量无法定义。
• 所谓的波函数坍缩并非物理过程，而是偏微分方程解中初始条件更新的数学结果。
• 向相对论性量子力学的扩展在理论上具有前景，但尚未完成，除自由粒子情况外，奈尔森方程和柯尔莫哥洛夫方程尚无一般解。