[论文解读] Stochastic Variational Method as a Quantization Scheme II: Quantization of Electromagnetic Fields

T. Kodama, K. Tsushima|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 1被引用 5

一句话总结

该论文将随机变分法（SVM）应用于从规范不变的拉格朗日量直接对电磁场进行量子化，绕过了共轭变量的引入。在库仑规范下，SVM重现了标准量子化结果；在洛伦兹规范下，通过将时间与纵向光子分量视为受带电物质量子涨落影响的c数泛函，避免了不定度量的引入，同时利用具有负相关性的随机过程重现了古斯塔夫-布勒勒形式的不定度量。

ABSTRACT

Quantization of electromagnetic fields is investigated in the framework of stochastic variational method (SVM). Differently from the canonical quantization, this method does not require canonical form and quantization can be performed directly from the gauge invariant Lagrangian. The gauge condition is used to choose dynamically independent variables. We verify that, in the Coulomb gauge condition, SVM result is completely equivalent to the traditional result. On the other hand, in the Lorentz gauge condition, SVM quantization can be performed without introducing the indefinite metric. The temporal and longitudinal components of the gauge filed, then, behave as c-number functionals affected by quantum fluctuation through the interaction with charged matter fields. To see further the relation between SVM and the canonical quantization, we quantize the usual gauge Lagrangian with the Fermi term and argue a stochastic process with a negative second order correlation is introduced to reproduce the indefinite metric.

研究动机与目标

• 测试SVM是否能直接从规范不变拉格朗日量对规范场进行量子化，而无需引入共轭变量。
• 研究SVM在库仑规范下是否能重现标准结果，此时其结果与共轭量子化一致。
• 探索SVM在洛伦兹规范下是否能避免引入不定度量，通过将时间与纵向分量视为c数泛函。
• 将随机过程的概念扩展至在SVM中对古斯塔夫-布勒勒形式的不定度量进行建模。
• 检验SVM在规范场量子化中的数学与物理一致性，特别是关于规范对称性与格林函数的问题。

提出的方法

• 在具有周期性边界条件的三维空间格点上对电磁拉格朗日密度进行离散化，将场构型视为随机变量。
• 使用前向与后向时间导数（D 与 D̃）应用随机变分原理，推导出规范场的随机欧拉-拉格朗日方程。
• 施加规范条件（库仑或洛伦兹）以消除非物理自由度，并识别动力学变量。
• 引入具有负二阶相关性的随机过程，以模拟洛伦兹规范下的不定度量，从而实现负规范态的重现。
• 使用费曼的因果边界条件计算格林函数，并验证其与共轭结果的一致性。
• 分析所得的量子动力学，包括时间与纵向光子分量作为受带电物质场影响的c数泛函的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机变分法（SVM）是否能直接从规范不变拉格朗日量对电磁场进行量子化，而无需引入共轭变量？
• RQ2 SVM是否能重现库仑规范下共轭量子化的标准结果？
• RQ3 SVM如何处理洛伦兹规范条件？它能否避免在古斯塔夫-布勒勒形式中引入不定度量？
• RQ4 是否可利用具有负二阶相关性的随机过程在SVM中对不定度量进行建模，从而重现古斯塔夫-布勒勒形式中的负规范态？
• RQ5 在SVM框架下，带电物质场在诱导规范场的时间与纵向分量的量子涨落中起何种作用？

主要发现

• 在库仑规范下，SVM的量子化结果与共轭量子化完全一致，证实了其与已有方法的一致性。
• 在洛伦兹规范下，规范场的时间与纵向分量表现为受带电物质场量子涨落影响的c数泛函，从而避免了对不定度量的依赖。
• SVM中的标准费曼传播子作为格林函数被重现，验证了理论因果结构的正确性。
• 引入具有负二阶相关性的随机过程以建模不定度量，使SVM中能够自然出现负规范态。
• 随机变分方法在量子层面保持了规范对称性，表明其与底层规范结构相容。
• 由于随机变量之间可对易，该方法避免了算符排序的歧义，相较于共轭量子化具有显著优势。