[论文解读] Stochastic variational principles for dissipative equations with advected quantities

Xin Chen, Ana Bela Cruzeiro+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2015

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

本文通过将拉格朗日对称性约化方法扩展至李群上的随机系统，为带有被输运量的耗散流体方程发展了随机变分原理。它仅基于变分原理与随机性，无需热力学假设，推导出可压缩纳维-斯托克斯方程与磁流体动力学方程，建立了将守恒量与粘性及被输运动力学相联系的随机凯尔文-诺特定理。

ABSTRACT

This paper presents symmetry reduction for material stochastic Lagrangian systems with advected quantities whose configuration space is a Lie group. Such variational principles yield deterministic as well as stochastic constrained variational principles for dissipative equations of motion in spatial representation. The general theory is presented for the finite dimensional situation. In infinite dimensions we obtain partial differential equations and stochastic partial differential equations. When the Lie group is, for example, a diffeomorphism group, the general result is not directly applicable but the setup and method suggest rigorous proofs valid in infinite dimensions which lead to similar results. We apply this technique to the compressible Navier-Stokes equation and to magnetohydrodynamics for charged viscous compressible fluids. A stochastic Kelvin-Noether theorem is presented. We derive, among others, the classical deterministic dissipative equations from purely variational and stochastic principles, without any appeal to thermodynamics.

研究动机与目标

• 通过对称性约化方法，为带有被输运量的随机拉格朗日系统建立几何框架。
• 将变分原理扩展至流体动力学中的耗散与噪声。
• 推导可压缩流体与磁流体动力学的确定性与随机约化方程。
• 建立随机凯尔文-诺特定理，将守恒环流与粘性及被输运项相联系。
• 在不依赖热力学论证的前提下，从变分原理恢复经典流体方程。

提出的方法

• 针对带有被输运量的系统，基于左不变拉格朗日量，在李群上制定随机变分原理。
• 应用庞加莱的约束变分原理，推导空间表示下的随机欧拉-庞加莱方程。
• 通过伊藤积分与多重噪声驱动的李群上的向量场引入随机过程。
• 通过追踪随机流下环流积分的演化，推导出随机凯尔文-诺特定理。
• 利用李代数同构与伴随作用，将方程表示为动量与被输运密度的形式。
• 将该框架应用于可压缩纳维-斯托克斯方程与磁流体动力学，识别出粘性项源于随机性与对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不引入热力学的前提下，利用随机变分原理推导耗散流体方程？
• RQ2 拉格朗日框架中的噪声如何导致运动方程中出现粘性项？
• RQ3 在存在耗散与噪声的情况下，流体环流的随机凯尔文-诺特定理的类比是什么？
• RQ4 如何将李群上的对称性约化方法扩展至如流体流动的无限维系统？
• RQ5 被输运量在随机流体动力学中的几何作用是什么？

主要发现

• 可压缩纳维-斯托克斯方程从一个无需任何热力学输入的随机变分原理中推导得出，仅对内能密度的形式有所要求。
• 纳维-斯托克斯方程中的粘性项自然地作为随机欧拉-庞加莱方程中的漂移项出现，具体为体积粘性项 ∇div u。
• 建立了随机凯尔文-诺特定理，表明环流积分的演化遵循包含被输运量与粘性力的随机微分方程。
• 推导出一般李群上的随机欧拉-庞加莱方程，明确给出了漂移项与扩散项关于拉格朗日量与李代数作用的表达式。
• 该方法适用于磁流体动力学，推导出带电、粘性、可压缩流体的随机方程版本。
• 该框架为随机流体动力学提供了几何变分基础，统一了噪声、耗散与守恒定律于单一变分原理之中。