[论文解读] Stochastic Volterra Equations in Banach Spaces and Stochastic Partial Differential Equations

Xicheng Zhang|ArXiv.org|Dec 4, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文在2-光滑Banach空间中建立了带奇异核的随机Volterra方程的存在性、唯一性及大偏差原理（LDP），并将结果应用于由布朗运动和分数布朗运动驱动的半线性SPDE。在局部Lipschitz条件下证明了唯一最大强解的存在性，并通过变分表示法推导出2D随机Navier-Stokes方程的显式速率函数的大偏差原理。

ABSTRACT

In this paper, we first study the existence-uniqueness and large deviation estimate of solutions for stochastic Volterra integral equations with singular kernels in 2-smooth Banach spaces. Then, we apply them to a large class of semilinear stochastic partial differential equations (SPDE) driven by Brownian motions as well as by fractional Brownian motions, and obtain the existence of unique maximal strong solutions (in the sense of SDE and PDE) under local Lipschitz conditions. Lastly, high order SPDEs in a bounded domain of Euclidean space, second order SPDEs on complete Riemannian manifolds, as well as stochastic Navier-Stokes equations are investigated.

研究动机与目标

• 在2-光滑Banach空间中，为带奇异核的随机Volterra方程建立解的存在性、唯一性及路径连续性。
• 在小噪声扰动下，为这类方程推导出Freidlin-Wentzell型大偏差原理（LDP）。
• 将抽象结果应用于一大类半线性SPDE，包括由布朗运动和分数布朗运动驱动的方程。
• 在有界域及黎曼流形上，证明SPDE存在唯一最大强解。
• 通过变分方法建立2D随机Navier-Stokes方程的大偏差原理，并给出显式速率函数。

提出的方法

• 基于泛函拉普拉斯变换的变分表示公式，采用弱收敛方法。
• 应用Boué-Dupuis变分公式及其简化证明，以最小的矩估计推导LDP。
• 在2-光滑Banach空间中工作，以确保随机积分定义良好并应用BDG型不等式。
• 使用常数变易公式将SPDE转化为随机Volterra积分方程。
• 采用时间离散化和Gronwall型不等式控制解的范数并证明连续性。
• 应用局部非线性插值引理和路径估计处理局部Lipschitz系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在2-光滑Banach空间中为带奇异核的随机Volterra方程建立连续路径解的存在性与唯一性？
• RQ2 此类方程的小噪声渐近行为受何种大偏差原理支配？
• RQ3 该抽象框架能否应用于由布朗运动和分数布朗运动共同驱动的SPDE？
• RQ4 在有界域及黎曼流形上，半线性SPDE在局部Lipschitz条件下是否具有唯一最大强解？
• RQ5 由多重噪声驱动的2D随机Navier-Stokes方程的大偏差速率函数是什么？

主要发现

• 本文证明了在2-光滑Banach空间中，带奇异核的随机Volterra方程存在解且路径连续。
• 通过变分表示法建立了Freidlin-Wentzell型大偏差原理，仅需矩估计。
• 该框架在局部Lipschitz条件下可导出由布朗运动驱动的SPDE的唯一最大强解。
• 该方法适用于R^d中有界域中的高阶SPDE，以及完备黎曼流形上的二阶SPDE。
• 对于2D随机Navier-Stokes方程，LDP成立，速率函数为 $ I(f) = \frac{1}{2} \inf_{h \in \ell^2_T} \|h\|^2_{\ell^2_T} $，其中 $ f = \mathbf{u}^h $ 满足控制方程。
• 证明了解不会爆炸，且极限 $ \lim_{n \to \infty} \sup_{\epsilon \in (0,1)} P(\tau_n^\epsilon \leq T) = 0 $ 确认了渐近路径稳定性。