[论文解读] Stokes' formulae on classical symbol valued forms and applications

Yoshiaki Maeda, Dominique Manchon+1 more|ArXiv.org|Oct 21, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 10

一句话总结

本文将Wodzicki余值和截断积分推广至ℝⁿ上经典符号取值的微分形式，证明在特定条件下它们满足类斯托克斯性质。扩展的Wodzicki余值定义了一个2n-循环，其行为类似于复余值；而截断积分仅在非整数阶符号下满足斯托克斯性质，整数阶符号下存在由余球上同调类测量的障碍。

ABSTRACT

The Wodzicki residue and the cut-off integral extend to classical symbol-valued forms. We show that they obey a Stokes' type property and that the extended Wodzicki residue can be interpreted as a complex residue like the ordinary one. In the case of cut-off integrals, Stokes' property (i.e. vanishing on exact forms) only holds for non-integer order symbol-valued forms and leads to an integration by parts formula and translation invariance for cut-off integrals on non-integer order classical symbols. The extended Wodzicki residue yields an even residue cycle on classical symbols and an odd cochain (the cosphere cochain) which measures an obstruction to Stokes' property of the cut-off integral on integer order symbol-valued forms.

研究动机与目标

• 将斯托克斯公式推广至经典符号取值微分形式的正则化积分。
• 研究截断积分在何种条件下满足斯托克斯性质，特别区分整数阶与非整数阶符号的情况。
• 通过一种新上同调类（余球上同调类）刻画整数阶符号取值形式中斯托克斯性质的障碍。
• 在全纯族符号取值形式的背景下，建立复余值与Wodzicki余值之间的联系。
• 将斯托克斯公式扩展至符号取值形式的全holomorphic正则化形式，证明其外微分的正则化积分为零。

提出的方法

• 通过左乘积∗与T*U上的外微分d，定义经典符号取值形式上的扩展Wodzicki余值。
• 证明扩展Wodzicki余值满足斯托克斯性质，在具有紧支集的经典符号代数上形成一个2n-循环。
• 引入符号取值形式的截断积分，并证明其仅在非整数阶符号下满足斯托克斯性质。
• 构造余球(2n−1)-上同调类，作为截断积分在整数阶形式上不满足斯托克斯性质的障碍。
• 使用全纯正则化方法定义符号取值形式的全纯族ω(z)，并证明∫dω(z)作为全纯函数恒为零。
• 建立复余值公式：Res_{z=z₀} ∫ω(z) = −1/α′(z₀) · res(ω(z₀))，将复余值与Wodzicki余值联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，截断积分对经典符号取值形式满足斯托克斯性质？
• RQ2 Wodzicki余值如何推广至符号取值微分形式？其诱导何种代数结构？
• RQ3 在符号取值形式的全纯族背景下，复余值与Wodzicki余值之间存在何种关系？
• RQ4 整数阶符号取值形式中斯托克斯性质的障碍如何以代数方式表现？
• RQ5 斯托克斯公式能否扩展至符号取值形式的全holomorphic正则化形式？其对分部积分与平移不变性有何影响？

主要发现

• 扩展Wodzicki余值满足斯托克斯性质，并在具有紧支集的经典符号代数上定义了一个2n-循环。
• 截断积分仅在非整数阶符号取值形式下满足斯托克斯性质，此时可实现分部积分与平移不变性。
• 整数阶符号取值形式中斯托克斯性质的障碍由余球(2n−1)-上同调类度量，该上同调类在一般情况下非平凡。
• 符号取值形式的扩展Wodzicki余值通过公式Res_{z=z₀} ∫ω(z) = −1/α′(z₀) · res(ω(z₀))与复余值一致。
• 对于符号取值形式的全纯族ω(z)，其外微分dω(z)的正则化积分作为全纯函数恒为零。
• 符号取值形式上的Wodzicki余值特征是循环∗-Hochschild上循环，其在零阶伪微分算子上退化为标准循环上循环。