[论文解读] Stone Duality for Monads

Richard Garner, Alyssa Renata+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2026

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 0

一句话总结

这篇论文在 Set 上的有限态/无限态单子与带回退函子的内部/局部化范畴之间建立了一个反变的幂等陪伴，并将不变量点识别为超仿射-一元单子和充足的局部化范畴，从而给出单子的一种 Stone 型对偶性。

ABSTRACT

We introduce a contravariant idempotent adjunction between (i) the category of ranked monads on $\mathsf{Set}$; and (ii) the category of internal categories and internal retrofunctors in the category of locales. The left adjoint takes a monad $T$-viewed as a notion of computation, following Moggi-to its localic behaviour category $\mathsf{LB}T$. This behaviour category is understood as "the universal transition system" for interacting with $T$: its "objects" are states and the "morphisms" are transitions. On the other hand, the right adjoint takes a localic category $\mathsf{LC}$-similarly understood as a transition system-to the monad $Γ\mathsf{LC}$ where $(Γ\mathsf{LC})A$ is the set of $A$-indexed families of local sections to the source map which jointly partition the locale of objects. The fixed points of this adjunction consist of (i) hyperaffine-unary monads, i.e., those monads where term $t$ admits a read-only operation $\bar{t}$ predicting the output of $t$; and (ii) ample localic categories, i.e., whose source maps are local homeomorphisms and whose locale of objects are strongly zero-dimensional. The hyperaffine-unary monads arise in earlier works by Johnstone and Garner as a syntactic characterization of those monads with Cartesian closed Eilenberg-Moore categories. This equivalence is the Stone duality for monads; so-called because it further restricts to the classical Stone duality by viewing a Boolean algebra $B$ as a monad of $B$-partitions and the corresponding Stone space as a localic category with only identity morphisms.

研究动机与目标

• 通过使用协模态和行为范畴，推动对计算的非影子化描述，而非仅靠单子方程。
• 引入一个拓扑/局部化框架，以捕捉单子的普遍转换系统。
• 通过局部化行为范畴和充足的局部化范畴，将有限态推广到无限态单子。
• 将陪伴的固定点表征为超仿射-一元单子和充足的局部化范畴。
• 通过约束到布尔代数及其相关单子，将对偶性与 Stone 对偶性联系起来。

提出的方法

• 构建有限态单子的拓扑行为范畴 BT 及其函子化扩展 B: Mnd_ω(Set) → TopRetro^op。
• 使用 Gamma_ω 作为 B 的右伴随，获得单子与拓扑回退函子之间的首个陪伴。
• 通过将 TopRetro 替换为 LocRetro 并定义局部化行为范畴 LB T，推广到无限态单子。
• 将 LB_0 T 定义为终局局部化协模，并通过对 LB_0 T 的层叠（在 LB_0 T 上的层叠）形成 LB_1 T，从而构成局部化行为范畴 LB T。
• 证明 LB T 与函子 LB 给出与 Gamma 的陪伴，且保持区段，从而在限制时给出 Stone 对偶性。
• 将陪伴的固定点表征为笛卡尔封闭的（超仿射-一元）单子与充足的局部化范畴（局部态射源映射的局部同胚且对象局部化为零维强性格））。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过一个在内部/局部化范畴中捕捉计算为交互的陪伴来表征单子？
• RQ2 陪伴在单子与内部/局部行为范畴之间的固定点是什么，它们如何与已知概念如超仿射-一元单子和充足局部化范畴相关？
• RQ3 是否可将 Stone 对偶性从布尔代数扩展到单子与局部化范畴之间的广泛对偶性？
• RQ4 在 LB/Γ 陪伴及其有限信息拓扑下，有限态与无限态的单子如何表现？
• RQ5 在何种意义上，局部化方法能够恢复或近似各种计算理论中的原始单子？

主要发现

• 存在一对在 Loc 中的反变幂等陪伴，在按 LB T 和 Γ LB T 实现的情况下，将有序单子与内部带内部回退函子之范畴对接。
• 左伴随将一个单子 T 映射到其局部化行为范畴 LB T，即与 T 的交互的普遍转换系统。
• 右伴随将一个局部化范畴 LC 映射到单子 Γ LC，其定义为以 A 指数族的局部截面对源射影映射进行分割的对象局部。
• 陪伴的固定点由超仿射-一元单子与充足局部化范畴组成，从而为单子提供 Stone 对偶性。
• 超仿射-一元单子对应笛卡尔封闭的 Eilenberg–Moore 分类，充足局部化范畴具有局部同胚的源且对象局部化为强零维。
• 限制到 Stone 空间与布尔代数时，回归经典的 Stone 对偶性作为特例。