[论文解读] Strange Attractors Characterizing the Osmotic Instability

Stephan I. Tzenov|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于Oberbeck-Boussinesq近似的前向渗滤水力模型，表明渗透流动力学受Lorenz型奇异吸引子控制。关键发现是，渗透驻波的时间依赖振幅精确遵循Lorenz系统的混沌动力学特征，其中等温压缩率系数β的作用类似于Rayleigh-Bénard对流中的热膨胀系数。

ABSTRACT

In the present paper a simple dynamical model for computing the osmotically driven fluid flow in a variety of complex, non equilibrium situations is derived from first principles. Using the Oberbeck-Boussinesq approximation, the basic equations describing the process of forward osmosis have been obtained. It has been shown that these equations are very similar to the ones used to model the free Rayleigh-Benard convection. The difference is that while in the case of thermal convection the volume expansion is driven by the coefficient of thermal expansion, the key role for the osmotic instability is played by the coefficient of isothermal compressibility. In addition, it has been shown that the osmotic process represents a propagation of standing waves with time-dependent amplitudes and phase velocity, which equals the current velocity of the solvent passing through the semi-permeable membrane. The evolution of the amplitudes of the osmotic waves is exactly following the dynamics of a strange attractor of Lorenz type with corresponding control parameters.

研究动机与目标

• 开发一种基于第一性原理的非平衡系统中渗透驱动流体流动的水动力学模型。
• 通过提供超越平衡热力学的物理机制，弥合文献中的空白。
• 展示渗透对流与Rayleigh-Bénard对流之间的类比，其中β作为关键控制参数，而非热膨胀系数。
• 表明渗透波振幅遵循由Lorenz型奇异吸引子控制的混沌动力学。
• 建立一个使用稳健控制参数对膜系统中复杂流动模式进行数值建模的框架。

提出的方法

• 推导出一个具有物理无穷小时间尺度的广义动力学方程，以描述介观弛豫动力学。
• 应用Oberbeck-Boussinesq近似，简化渗透系统的Navier-Stokes方程和能量方程。
• 提出一种前向渗滤的水动力学模型，其方程与自由Rayleigh-Bénard对流的方程相匹配。
• 识别出等温压缩率系数β为驱动渗透不稳定的主导参数，其作用类似于热对流中的热膨胀系数。
• 将系统简化为一组描述时间依赖振幅驻波的振幅方程。
• 通过归一化将振幅动力学转化为标准Lorenz系统，得到控制参数σ、r和b。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用第一性原理水动力学对非平衡系统中的渗透流动进行建模？
• RQ2 渗透不稳定性与Rayleigh-Bénard对流之间存在何种动力学类比？
• RQ3 等温压缩率系数β如何影响渗透系统中不稳定的起始？
• RQ4 渗透波振幅的时间演化能否由Lorenz型奇异吸引子描述？
• RQ5 混沌渗透混合的临界条件是什么？

主要发现

• 在Oberbeck-Boussinesq近似下，前向渗滤的基本方程在结构上与自由Rayleigh-Bénard对流的方程完全相同。
• 关键区别在于驱动参数：β（等温压缩率）取代了热对流中的热膨胀系数。
• 研究表明，渗透过程涉及具有时间依赖振幅的驻波，且相速度等于通过膜的溶剂流动速度。
• 这些波的振幅动力学恰好由Lorenz系统控制，控制参数为σ = 2/(DRe)，r = √2Δc/(πB)，以及b = 4/(1+a²)。
• 当r = 1时发生pitchfork分岔，产生两个新的不动点，混沌在r = rc = σ(σ + b + 3)/(σ − b − 1)时出现，标志着湍流渗透混合的起始。
• 当r < 1时，原点是唯一的不动点，所有轨迹均收敛于它，表明渗透运动稳定；当r > rc时，系统表现出混沌行为，因其特征方程具有正实部的复特征值。