[论文解读] Stream cipher based on quasigroup string transformations in $Z_p^*$

Danilo Gligoroski|ArXiv.org|Mar 30, 2004

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用 13

一句话总结

本文提出一种新型公钥流密码，利用乘法群 ℤₚ* 中的准群字符串变换实现加密安全。通过仅使用一个置换定义阶为 p−1 的准群，并避免模幂运算，该密码在保持等价于求解大素数 p 上多变量多项式方程组的 NP-难安全性的前提下，实现了对称密钥密码的运行速度。

ABSTRACT

In this paper we design a stream cipher that uses the algebraic structure of the multiplicative group $\bbbz_p^*$ (where p is a big prime number used in ElGamal algorithm), by defining a quasigroup of order $p-1$ and by doing quasigroup string transformations. The cryptographical strength of the proposed stream cipher is based on the fact that breaking it would be at least as hard as solving systems of multivariate polynomial equations modulo big prime number $p$ which is NP-hard problem and there are no known fast randomized or deterministic algorithms for solving it. Unlikely the speed of known ciphers that work in $\bbbz_p^*$ for big prime numbers $p$, the speed of this stream cipher both in encryption and decryption phase is comparable with the fastest symmetric-key stream ciphers.

研究动机与目标

• 设计一种公钥流密码，结合公钥系统的密钥交换灵活性与对称密钥密码的运行速度。
• 解决传统公钥流密码的性能瓶颈问题，其通常因模幂运算而比对称密码慢约 1000 倍。
• 利用 ℤₚ* 和准群的代数结构，构建一种安全性基于在大素数 p 上求解多变量多项式方程组困难性的密码。
• 通过用模乘法和模逆运算替代昂贵的模幂运算，实现每块 O(k log²p) 的复杂度，从而实现高效加密与解密。

提出的方法

• 该密码通过在乘法群 ℤₚ* 内使用 ElGamal 密钥交换协议进行初始化。
• 仅使用其乘法表的第一行（一个置换）来定义阶为 p−1 的准群，从而实现无需存储完整表格的快速构造。
• 加密与解密通过准群字符串变换执行，其中每个明文块通过一系列准群运算进行变换。
• 变换过程涉及迭代应用由一组‘领导者’（从密钥派生的秘密参数）定义的准群运算。
• 该系统避免使用模幂运算，转而每块仅依赖 O(k log²p) 次模乘法和模逆运算，从而实现高速性能。
• 提出使用形如 pₗ = 2⁸ˡ + 3 的素数以实现高效的消息编码，其中 p₂₅₁（2008 位）等大数值可确保密码强度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种公钥流密码，使其性能可与对称密钥密码相媲美，同时保持公钥密码的安全特性？
• RQ2 基于 ℤₚ* 中准群字符串变换的流密码，其安全性是否等价于求解大素数 p 上的多变量多项式方程组？
• RQ3 能否仅通过一个置换高效构造阶为 p−1 的准群，而无需存储完整的乘法表？
• RQ4 破解该密码的计算复杂度是多少，其与计算数论中已知难题的关系如何？
• RQ5 使用形如 2⁸ˡ + 3 的素数是否能减少消息扩展，并在实际中提升编码效率？

主要发现

• 所提出的流密码在每块上实现 O(k log²p) 的复杂度，其加密与解密速度与目前最快的对称密钥流密码相当。
• 该密码的安全性等价于求解大素数 p 上的多变量多项式方程组，该问题是 NP-难的，目前尚无高效的随机化或确定性算法。
• 仅使用一个置换来定义阶为 p−1 的准群，可实现无需存储完整乘法表的高效构造。
• 该密码避免使用模幂运算，与传统公钥系统（如 ElGamal）相比显著降低了计算开销。
• 提出使用形如 pₗ = 2⁸ˡ + 3 的素数（如 p₂₅₁，2008 位），以最小化消息扩展并支持大块的高效编码。
• 即使使用多个领导者，系统依然安全，因为由此产生的多项式方程组变得愈加复杂且难以求解。