[论文解读] Stream Processors and Comodels

Matthieu Anel|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用 24

一句话总结

本文为微分分次（dg）余代数与代数发展了Sweedler理论，确立了dg-余代数范畴是对称单峰闭的，且dg-代数在该范畴上实现富集、张量化与余张量化。核心贡献在于系统性地阐述了Sweedler的通用度量余代数、卷积代数及Sweedler积，统一并推广了诸如巴-考伯构造等伴随关系，在范畴论框架下实现统一。

ABSTRACT

In 2009, Ghani, Hancock and Pattinson gave a coalgebraic characterisation of stream processors A^ℕ → B^ℕ drawing on ideas of Brouwerian constructivism. Their stream processors have an intensional character; in this paper, we give a corresponding coalgebraic characterisation of extensional stream processors, i.e., the set of continuous functions A^ℕ → B^ℕ. Our account sites both our result and that of op. cit. within the apparatus of comodels for algebraic effects originating with Power-Shkaravska.

研究动机与目标

• 建立dg-余代数范畴上的对称单峰闭结构。
• 证明dg-代数在dg-余代数上实现富集、张量化与余张量化。
• 将Sweedler的通用度量余代数形式化为dg-代数中的富集同态对象。
• 通过Sweedler积与卷积代数运算推广巴-考伯伴随关系。
• 为代数拓扑与操演理论中的同伦构造提供范畴论基础，重点关注dg-范畴上的代数结构。

提出的方法

• 使用带有相容乘法的微分分次结构定义dg-向量空间与dg-代数。
• 在dg-代数中引入内部同态对象{A, B}作为Sweedler的通用度量余代数，表示代数同态。
• 构造dg-代数中的新运算C □ A（Sweedler积），其对偶为卷积。
• 利用卷积代数[C, A]定义代数A对余代数C的余张量化。
• 建立伴随关系：C □ − ⊣ [C, −]，[−, A] ⊣ {−, A}，以及−□A ⊣ {A, −}，在dg-代数与dg-余代数之间。
• 将该理论应用于重构巴-考伯伴随关系，作为这些Sweedler运算的特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为dg-余代数范畴赋予对称单峰闭结构？
• RQ2 在dg-代数的语境下，Sweedler的通用度量余代数的精确范畴角色是什么？
• RQ3 Sweedler积与卷积代数运算如何统一同调代数中已知的伴随关系？
• RQ4 这些构造如何推广dg-代数与dg-余代数的巴-考伯伴随关系？
• RQ5 dg-代数在dg-余代数上的富集、张量化与余张量化之间存在何种关系？

主要发现

• dg-余代数范畴(dgCoalg, ⊗, Hom)是具有对称单峰闭结构的范畴。
• dg-代数范畴(dgAlg, {−, −}, □, [−, −], ⊗)在dgCoalg上实现富集、张量化、余张量化，并具有强单峰结构。
• dg-代数中富集同态对象{A, B}同构于Sweedler的通用度量余代数。
• 代数A对余代数C的余张量化即为卷积代数[C, A]。
• 代数A对余代数C的张量化为新运算C □ A，称为Sweedler积。
• 巴-考伯伴随关系被重构为dg-代数与dg-余代数之间伴随关系C □ − ⊣ [C, −]的特例。