[论文解读] Streaming Approximation Resistance of Every Ordering CSP

Noah Singer, Madhu Sudan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

semigroups and automata theory被引用 1

一句话总结

该论文证明了在单通道流式模型中，每个排序约束满足问题（OCSP）都是近似不可行的：不存在 o(n)-空间算法能够区分几乎所有约束都可满足的实例与没有任何排序显著优于随机排序的实例。该结果通过将流式近似不可行性归约为通信复杂性问题（IRMD），并利用从 OCSP 派生的标准 CSP 困难实例中发现的新颖的划分扩展性质得以证明。

ABSTRACT

An ordering constraint satisfaction problem (OCSP) is given by a positive integer k and a constraint predicate Π mapping permutations on {1,…,k} to {0,1}. Given an instance of OCSP(Π) on n variables and m constraints, the goal is to find an ordering of the n variables that maximizes the number of constraints that are satisfied, where a constraint specifies a sequence of k distinct variables and the constraint is satisfied by an ordering on the n variables if the ordering induced on the k variables in the constraint satisfies Π. Ordering constraint satisfaction problems capture natural problems including "Maximum acyclic subgraph (MAS)" and "Betweenness". In this work we consider the task of approximating the maximum number of satisfiable constraints in the (single-pass) streaming setting, where an instance is presented as a stream of constraints. We show that for every Π, OCSP(Π) is approximation-resistant to o(n)-space streaming algorithms, i.e., algorithms using o(n) space cannot distinguish streams where almost every constraint is satisfiable from streams where no ordering beats the random ordering by a noticeable amount. This space bound is tight up to polylogarithmic factors. In the case of MAS our result shows that for every ε > 0, MAS is not 1/2+ε-approximable in o(n) space. The previous best inapproximability result only ruled out a 3/4-approximation in o(√ n) space. Our results build on recent works of Chou, Golovnev, Sudan, Velingker, and Velusamy who show tight, linear-space inapproximability results for a broad class of (non-ordering) constraint satisfaction problems (CSPs) over arbitrary (finite) alphabets. Our results are obtained by building a family of appropriate CSPs (one for every q) from any given OCSP, and applying their work to this family of CSPs. To convert the resulting hardness results for CSPs back to our OCSP, we show that the hard instances from this earlier work have the following "small-set expansion" property: If the CSP instance is viewed as a hypergraph in the natural way, then for every partition of the hypergraph into small blocks most of the hyperedges are incident on vertices from distinct blocks. By exploiting this combinatorial property, in combination with the hardness results of the resulting families of CSPs, we give optimal inapproximability results for all OCSPs.

研究动机与目标

• 建立所有排序 CSP（OCSP）在流式计算中的近似不可行性，包括最大无环子图（MAS）和最大中间性问题。
• 弥合已知的 o(√n)-空间近似不可行性结果与 OCSP 的 o(n)-空间最优界之间的差距。
• 证明对于每个 OCSP 家族 F，不存在 o(n)-空间流式算法能实现非平凡的近似比。
• 开发一种通用框架，通过新的划分扩展性质，将标准 CSP 的近似不可行性推广至 OCSP。
• 证明 o(n) 空间界在多对数因子范围内是紧致的，从而解决 MAS 长期以来的开放问题。

提出的方法

• 将 OCSP 的流式近似不可行性归约为索引反转消息传递（IRMD）问题的通信复杂性。
• 从任意给定的 OCSP 构造一个标准 CSP 家族（按字母表大小 q 分类），并通过归约保持其困难性。
• 证明先前标准 CSP 近似不可行性定理（CGSV24, CGS+22b）中的困难实例在高概率下表现出“划分扩展”性质。
• 利用划分扩展性质，确保对于任意小的变量划分，大多数约束跨越不同的块，从而支持有效的流式模拟。
• 通过让每个参与者处理约束子集并转发算法状态，在 T 方通信协议中模拟流式算法。
• 证明流式设置中的 YES 与 NO 分布与 IRMD 分布一致，从而保持区分优势。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以证明每个排序 CSP 在单通道流式模型中均无法实现 o(n) 空间近似？
• RQ2 o(n) 空间界是否在多对数因子范围内对流式计算 OCSP 近似是紧致的？
• RQ3 是否可以利用如划分扩展之类的结构性质，将标准 CSP 的近似不可行性推广至 OCSP？
• RQ4 索引反转消息传递（IRMD）问题是否提供足够强的通信复杂性下界，以推导出流式近似不可行性？
• RQ5 是否可以将最大无环子图（MAS）的困难性突破此前在 o(√n) 空间中 3/4-近似障碍的限制？

主要发现

• 对于每个排序 CSP 家族 F，Max-OCSP(F) 对 o(n)-空间流式算法具有近似抗性。
• o(n) 空间界在多对数因子范围内是紧致的，因为不存在 o(n)-空间算法能实现 (1/2 + ε)-近似比的 MAS。
• 该论文改进了 Guruswami 和 Tao（2019）对 MAS 的先前 o(√n)-空间近似不可行性结果，后者仅排除了 3/4-近似。
• 关键技术洞见是：从 OCSP 派生的标准 CSP 困难实例在高概率下表现出“划分扩展”性质。
• 该划分扩展性质确保约束在小块之间分布良好，从而支持流式算法在通信复杂性协议中的有效模拟。
• 通过 IRMD 问题将流式计算归约为通信复杂性，得到一个仅使用 s(n) ≤ τn 位的 1/8-优势协议，若 s(n) = o(n)，则与已知通信复杂性下界矛盾。