[论文解读] Streaming Edge Coloring with Asymptotically Optimal Colors

Mohammad Saneian, Soheil Behnezhad|arXiv (Cornell University)|May 2, 2023

Optimization and Search Problems被引用 3

一句话总结

本文提出了一种随机流算法，通过 eO(n√∆) 空间实现了渐近最优的 O(∆) 边着色，解决了关于子线性空间中 O(∆) 边着色的开放问题。该算法通过在多个二分图子图上采用新颖的分组与批量处理策略，实现了无需存储所有先前颜色的着色分配，从而在任意边到达顺序下实现了高效且流式兼容的着色。

ABSTRACT

Given a graph $G$, an edge-coloring is an assignment of colors to edges of $G$ such that any two edges sharing an endpoint receive different colors. By Vizing's celebrated theorem, any graph of maximum degree $Δ$ needs at least $Δ$ and at most $(Δ+ 1)$ colors to be properly edge colored. In this paper, we study edge colorings in the streaming setting. The edges arrive one by one in an arbitrary order. The algorithm takes a single pass over the input and must output a solution using a much smaller space than the input size. Since the output of edge coloring is as large as its input, the assigned colors should also be reported in a streaming fashion. The streaming edge coloring problem has been studied in a series of works over the past few years. The main challenge is that the algorithm cannot "remember" all the color assignments that it returns. To ensure the validity of the solution, existing algorithms use many more colors than Vizing's bound. Namely, in $n$-vertex graphs, the state-of-the-art algorithm with $\widetilde{O}(n s)$ space requires $O(Δ^2/s + Δ)$ colors. Note, in particular, that for an asymptotically optimal $O(Δ)$ coloring, this algorithm requires $Ω(nΔ)$ space which is as large as the input. Whether such a coloring can be achieved with sublinear space has been left open. In this paper, we answer this question in the affirmative. We present a randomized algorithm that returns an asymptotically optimal $O(Δ)$ edge coloring using $\widetilde{O}(n \sqrtΔ)$ space. More generally, our algorithm returns a proper $O(Δ^{1.5}/s + Δ)$ edge coloring with $\widetilde{O}(n s)$ space, improving prior algorithms for the whole range of $s$.

研究动机与目标

• 解决在流模型下是否能以子线性空间实现渐近最优 O(∆) 边着色的开放问题。
• 设计一种流算法，在避免存储所有边着色分配的同时，确保在任意边到达顺序下的正确着色。
• 改进先前需要 Ω(n∆) 空间实现 O(∆) 着色的算法，该空间大小与输入规模相当。
• 将结果扩展至顶点到达模型，实现 eO(n) 空间下的 O(∆) 着色。

提出的方法

• 该算法根据在线顶点批次将边划分为 s 个组，并使用 s 个并行的二分图边着色子程序实例。
• 每组以大小为 k = √∆ 的批次处理边，每个批次通过每个顶点共享的随机数，使用随机分组方式分配给 s 个子图之一。
• 该方法依赖于一种递归随机二分技术，以降低子图中的最大度数，从而实现用更少颜色的高效着色。
• 为每个在线顶点维护一个计数器以跟踪批次进度，并使用模运算将每个批次映射到特定的子图实例。
• 颜色分配在每个子图实例中独立管理，每个实例使用 eO(n) 空间，从而总空间使用为 eO(ns)。
• 当 ∆ > 900 log²n 时，算法使用二分图着色子程序；否则，将图离线存储。

实验结果

研究问题

• RQ1 在流模型下，对于任意边到达顺序，能否在子线性空间中实现 O(∆) 边着色？
• RQ2 是否可以设计一种流算法，避免存储所有颜色分配的同时保持正确性？
• RQ3 流式边着色中，空间使用与颜色数量之间的最优权衡是什么？
• RQ4 在顶点到达模型下，能否将空间复杂度降低至 eO(n)，同时保持 O(∆) 着色？
• RQ5 如何利用随机分组与批量策略，在无全局内存的情况下模拟全局颜色可用性？

主要发现

• 本文提出了一种随机流算法，以高概率实现 O(∆) 边着色，空间复杂度为 eO(n√∆)，正面回答了该开放问题。
• 对于任意 s ≥ 1，该算法使用 eO(ns) 空间实现 O(∆1.5/s + ∆) 着色，优于所有先前的界。
• 通过设置 s = √∆，该算法实现了渐近最优的 O(∆) 着色，空间复杂度为 eO(n√∆)，该复杂度在输入规模下为子线性。
• 在顶点到达模型下，该算法将空间复杂度降低至 eO(n)，同时以高概率实现 O(∆) 着色。
• 该算法使用递归随机二分技术降低子图中的最大度数，从而实现用更少颜色的高效着色。
• 通过随机分组和每实例着色，该方法确保了跨批次的颜色一致性，避免了对历史分配的全局内存存储。