[论文解读] Strengthened Brooks Theorem for digraphs of girth three

Ararat Harutyunyan, Bojan Mohar|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用 12

一句话总结

该论文通过证明：对于不含定向2-圈（digons）且围长为3的有向图，其色数满足 $\chi(D) \leq (1 - e^{-13})\tilde{\Delta}$，其中 $\tilde{\Delta}$ 为出度与入度几何平均值的最大值，从而加强了有向图的Brooks定理。该结果表明存在绝对常数 $\alpha < 1$，使得对所有 $\tilde{\Delta} > 2$，有 $\chi(D) \leq \alpha(\tilde{\Delta} + 1)$，通过排除digons改进了经典界。

ABSTRACT

Brooks' Theorem states that a connected graph $G$ of maximum degree $Δ$ has chromatic number at most $Δ$, unless $G$ is an odd cycle or a complete graph. A result of Johansson (1996) shows that if $G$ is triangle-free, then the chromatic number drops to $O(Δ/ \log Δ)$. In this paper, we derive a weak analog for the chromatic number of digraphs. We show that every (loopless) digraph $D$ without directed cycles of length two has chromatic number $χ(D) \leq (1-e^{-13}) ildeΔ$, where $ ildeΔ$ is the maximum geometric mean of the out-degree and in-degree of a vertex in $D$, when $ ildeΔ$ is sufficiently large. As a corollary it is proved that there exists an absolute constant $α&lt; 1$ such that $χ(D) \leq α( ildeΔ + 1)$ for every $ ildeΔ &gt; 2$.

研究动机与目标

• 通过在排除定向2-圈（digons）的条件下改进色数界，将Brooks定理推广至有向图。
• 建立具有大最大几何平均入度与出度的有向图的有向色数的非平凡上界。
• 证明无digon有向图的色数增长严格慢于最大几何平均值 $\tilde{\Delta}$，类似于Johansson对无三角形无向图的结果。
• 为无digon有向图色数的改进渐近界猜想提供证据。

提出的方法

• 定义 $\tilde{\Delta}(D) = \max\{ \sqrt{d^+(v)d^-(v)} \mid v \in V(D) \}$ 为入度与出度几何平均值的最大值。
• 使用概率与极值方法证明：当 $\tilde{\Delta}$ 足够大时，每个无digon的有向图均满足 $\chi(D) \leq (1 - e^{-13})\tilde{\Delta}$。
• 基于最大无环集与归纳法的着色算法，将色数界低于平凡界 $\tilde{\Delta} + 1$。
• 利用关于 $k$-临界有向图及欧拉有向图结构性质的已知结果，排除会强制更高色数的极值结构。
• 证明：若一个有向图对大小为 $\lceil\tilde{\Delta}\rceil$ 的列表不可 $L$-着色，则其必为欧拉图且正则，除非其包含一个digon，从而导出矛盾。
• 利用存在常数 $\alpha < 1$ 使得对所有 $\tilde{\Delta} > 2$ 有 $\chi(D) \leq \alpha(\tilde{\Delta} + 1)$ 的事实，结合小与大 $\tilde{\Delta}$ 情况下的界，得出结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 当排除定向2-圈时，是否可以改进有向图的Brooks定理？
• RQ2 是否存在常数 $\alpha < 1$，使得对所有无digon有向图满足 $\tilde{\Delta} > 2$ 时有 $\chi(D) \leq \alpha(\tilde{\Delta} + 1)$？
• RQ3 无digon有向图的色数是否渐近增长慢于 $\tilde{\Delta}$，类似于Johansson对无三角形图的结果？
• RQ4 最小的 $\Delta_0$ 是多少，使得所有无digon有向图满足 $\lceil\tilde{\Delta}\rceil \geq \Delta_0$ 时有 $\chi(D) \leq \lceil\tilde{\Delta}\rceil - 1$？

主要发现

• 对每个无digon有向图 $D$，当 $\tilde{\Delta}$ 足够大时（具体为 $\tilde{\Delta} \geq 10^{10}$），其色数满足 $\chi(D) \leq (1 - e^{-13})\tilde{\Delta}$。
• 存在绝对常数 $\alpha < 1$，使得对所有无digon有向图满足 $\tilde{\Delta} > 2$ 时有 $\chi(D) \leq \alpha(\tilde{\Delta} + 1)$。
• 当 $\tilde{\Delta}$ 较小时，所有无digon有向图均满足 $\chi(D) \leq \lceil\tilde{\Delta}\rceil$，且当 $\lceil\tilde{\Delta}\rceil = 2$ 和 $3$ 时该界是紧的。
• Fano平面构造给出了一个7个顶点的3-正则无digon有向图，其恰好需要3种颜色，证明了当 $\tilde{\Delta} = 3$ 时该界的紧性。
• 已证明存在 $\Delta_0$，使得对所有满足 $\lceil\tilde{\Delta}\rceil \geq \Delta_0$ 的无digon有向图，有 $\chi(D) \leq \lceil\tilde{\Delta}\rceil - 1$，且 $\Delta_0$ 可能小至4。
• 推论3.6确认：当 $\lceil\tilde{\Delta}\rceil \geq \Delta_0$ 时，存在 $\alpha < 1$ 使得 $\chi(D) \leq \alpha\lceil\tilde{\Delta}\rceil$，支持了猜想1.5的弱形式。