[论文解读] Strengths and Weaknesses of Quantum Computing

Charles H. Bennett, Ethan Bernstein+2 more|Jan 1, 1997

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 23

一句话总结

本文通過證明相對於隨機预言器，NP 不能在時間 o(2^{n/2}) 內由量子图灵機求解，且 co-NP ∩ NP 不能在 o(2^{n/3}) 內求解，從而研究了量子計算的極限。這些界限是緊緻的，因為 Grover 算法對 NP 可達 O(2^{n/2})，表明 NP 的量子加速存在上限，且在此模型下無法為 NP-完全問題實現多項式時間解法。

ABSTRACT

Recently a great deal of attention has focused on quantum computation following a sequence of results suggesting that quantum computers are more powerful than classical probabilistic computers. Following Shor's result that factoring and the extraction of discrete logarithms are both solvable in quantum polynomial time, it is natural to ask whether all of NP can be efficiently solved in quantum polynomial time. In this paper, we address this question by proving that relative to an oracle chosen uniformly at random, with probability 1, the class NP cannot be solved on a quantum Turing machine in time $o(2^{n/2})$. We also show that relative to a permutation oracle chosen uniformly at random, with probability 1, the class $NP \cap coNP$ cannot be solved on a quantum Turing machine in time $o(2^{n/3})$. The former bound is tight since recent work of Grover shows how to accept the class NP relative to any oracle on a quantum computer in time $O(2^{n/2})$.

研究动机与目标

• 確定量子計算機是否能高效求解 NP-完全問題。
• 研究量子圖靈機相對於經典概率機器的計算能力。
• 在相對化模型下，建立量子演算法求解 NP 和 NP ∩ co-NP 問題所需時間的下界。
• 明確 BQP 與 NP 之間的關係，特別是量子計算機是否能在多項式時間內求解 NP-完全問題。

提出的方法

• 使用相對化複雜度理論與隨機预言器分析量子計算的極限。
• 應用量子預言器模型模擬量子圖靈機（QTMs）並分析查詢複雜度。
• 運用量子查詢複雜度與振幅放大技術推導下界。
• 使用混合方法與量子反對方法證明 NP 和 NP ∩ co-NP 查詢複雜度的下界。
• 構造一個量子圖靈機，以量子叠加方式執行給定機器 k 次，使用交錯法與可逆計算。
• 利用酉演化與內積保持性，確保量子演算法中輸出狀態的高保真度。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子計算機能否在多項式時間內求解 NP-完全問題？
• RQ2 相對於隨機预言器，量子圖靈機求解 NP 問題所需的最短時間是多少？
• RQ3 是否存在量子加速的本質極限，若有，其極限為何？
• RQ4 NP 的量子查詢複雜度與經典概率計算相比如何？
• RQ5 量子演算法能否實現優於 O(2^{n/2}) 的查詢複雜度來求解 NP 問題？

主要发现

• 相對於均勻隨機的预言器，NP 不能由量子圖靈機在 o(2^{n/2}) 時間內求解。
• 相對於均勻隨機的排列预言器，NP ∩ co-NP 不能在 o(2^{n/3}) 時間內求解。
• NP 的 o(2^{n/2}) 界限是緊緻的，因為 Grover 算法對 NP 搜尋達到了 O(2^{n/2}) 的查詢複雜度。
• 該結果表明，除非多項式層次坍縮，否則量子計算機無法高效求解 NP-完全問題。
• 本文確立了相對於隨機预言器，BQP 不包含於 BPP，支持了量子計算機嚴格優於經典計算機的猜想。
• 具有高成功機率與可逆計算的量子圖靈機構造，確認了 BQP 等量子複雜度類的穩健性。