[论文解读] Strengths and Weaknesses of Quantum Fingerprinting

Dmitry Gavinsky, Julia Kempe+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 12

一句话总结

本文将Yao的量子模拟技术扩展至任意具有纠缠的有界误差量子通信协议，证明其可被重复的量子指纹协议以指数级开销模拟。此外，研究进一步表明，对于几乎所有函数，由于同质半空间最大间隔排列的固有限制，量子指纹协议的效率远低于经典确定性协议。

ABSTRACT

We study the power of quantum fingerprints in the simultaneous message passing (SMP) setting of communication complexity. Yao recently showed how to simulate, with exponential overhead, classical shared-randomness SMP protocols by means of quantum SMP protocols without shared randomness ($Q^\parallel$-protocols). Our first result is to extend Yao's simulation to the strongest possible model: every many-round quantum protocol with unlimited shared entanglement can be simulated, with exponential overhead, by $Q^\parallel$-protocols. We apply our technique to obtain an efficient $Q^\parallel$-protocol for a function which cannot be efficiently solved through more restricted simulations. Second, we tightly characterize the power of the quantum fingerprinting technique by making a connection to arrangements of homogeneous halfspaces with maximal margin. These arrangements have been well studied in computational learning theory, and we use some strong results obtained in this area to exhibit weaknesses of quantum fingerprinting. In particular, this implies that for almost all functions, quantum fingerprinting protocols are exponentially worse than classical deterministic SMP protocols.

研究动机与目标

• 将Yao对经典共享随机性协议的模拟方法扩展至具有无限纠缠的通用量子协议。
• 通过将量子指纹技术与计算学习理论中的最大间隔排列关联，刻画其能力边界。
• 证明对于几乎所有函数，量子指纹协议的通信效率远低于经典确定性SMP协议。
• 利用间隔复杂度推导出新的量子通信复杂度下界。

提出的方法

• 构建一种重复的量子指纹协议，仅使用O(2^{O(q)} log n) qubits即可模拟任意具有纠缠的多轮量子协议。
• 利用交换测试估算量子指纹之间的内积，从而基于重叠阈值执行函数评估。
• 通过计算学习理论中的结果，建立量子指纹与具有最大间隔的同质半空间排列之间的联系。
• 证明函数符号矩阵的最大间隔决定了带纠缠的量子通信复杂度的下界。
• 应用已知的间隔复杂度结果，表明几乎所有函数的最大间隔均呈指数级小，从而暗示通信成本较高。
• 使用阈值嵌入技术将输入映射为量子态，使得内积的模长可区分函数输出。

实验结果

研究问题

• RQ1 Yao对经典共享随机性协议的指数级模拟能否扩展至具有无限纠缠和多轮通信的通用量子协议？
• RQ2 从通信效率角度看，量子指纹技术在所有函数上的根本限制是什么？
• RQ3 符号矩阵的最大间隔如何与带纠缠的量子通信复杂度相关联？
• RQ4 是否存在除相等性及其变体外的自然通信问题，其可被高效量子指纹协议解决？
• RQ5 在存在无限先验纠缠的情况下，能否利用间隔复杂度推导出量子通信复杂度的紧致下界？

主要发现

• 任何具有q qubits通信量和无限共享纠缠的量子协议，均可被重复量子指纹协议以O(2^{O(q)} log n) qubits通信量模拟。
• 对于几乎所有布尔函数f，量子指纹协议所需的通信量远超经典确定性SMP协议的指数级规模。
• 函数f的最大间隔γ(f)满足γ(f) = O(2^{-4Q^{ent}(f)}), 从而导出下界Q^{ent}(f) ≥ (1/4) log(1/γ(f)) - O(1)。
• 最大间隔呈指数级小的函数（这在随机函数中是典型情况）即使在无限纠缠下也需线性量子通信量。
• 相等性函数是例外：其可被O(log n)通信量的高效量子指纹协议实现，展示了该技术在特殊情形下的强大能力。
• 量子指纹与最大间隔排列之间的联系，使得可借助计算学习理论的结果，推导出新的量子通信复杂度下界。