[论文解读] Strichartz estimates and moment bounds for the relativistic Vlasov-Maxwell system I. The $2$-D and $2\frac 12$-D cases

Jonathan Luk, Robert M. Strain|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2014

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 27被引用 24

一句话总结

本文在不假设动量空间中初始数据具有紧支集的前提下，建立了二维和2.5维相对论性Vlasov-Maxwell系统的全局存在性、唯一性与正则性。通过结合波动方程的Strichartz估计与矩估计，作者证明了动量空间中多项式衰减的初始数据可保持有界矩，并对电磁场的时间增长速率给出改进的界，将Glassey-Schaeffer的经典结果推广至更广泛的初始数据类，且不限制初始数据的大小。

ABSTRACT

Consider the relativistic Vlasov-Maxwell system with initial data of unrestricted size. In the two dimensional and the two and a half dimensional cases, Glassey-Schaeffer (1997, 1998, 1998) proved that for regular initial data with compact momentum support this system has unique global in time classical solutions. In this work we do not assume compact momentum support for the initial data and instead require only that the data have polynomial decay in momentum space. In the 2D and the $2\frac 12$D cases, we prove the global existence, uniqueness and regularity for solutions arising from this class of initial data. To this end we use Strichartz estimates and prove that suitable moments of the solution remain bounded. Moreover, we obtain a slight improvement of the temporal growth of the $L^\infty_x$ norms of the electromagnetic fields compared to Glassey-Schaeffer.

研究动机与目标

• 将Glassey-Schaeffer关于相对论性Vlasov-Maxwell系统的全局存在性结果，从动量空间中初始数据具有紧支集的假设，推广至更一般的情形。
• 在二维和2.5维设定下，针对动量空间中具有多项式衰减初始数据的情形，建立解的全局存在性与正则性。
• 相较于以往工作，改进电磁场在L∞_x范数下的时间增长速率。
• 在第二部分中，发展一种结合Strichartz估计与矩估计的框架，适用于三维情形。

提出的方法

• 在二维和2.5维设定下，利用波动方程的Strichartz估计来控制电磁场。
• 通过分析分布函数f的加权导数的传播，建立Vlasov方程的矩估计。
• 将电磁场梯度∇xK分解为五项，包括初始数据贡献项以及涉及f、K和∇f的项。
• 应用插值不等式与核估计（例如二维波动核）来推导K与∇xK的L∞_x界。
• 利用电磁场及其导数的有界性，完成特征流的Bootstrap论证。
• 利用2.5维解在平移对称性下可视为三维解的限制这一事实，将三维估计推广至2.5维情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设初始数据在动量空间中具有紧支集的前提下，能否为二维和2.5维相对论性Vlasov-Maxwell系统建立全局存在性与正则性？
• RQ2 在多项式衰减初始数据条件下，电磁场的L∞_x范数的最优时间增长速率为何？
• RQ3 如何将Strichartz估计与矩估计相结合，以在缺乏紧支集假设的情况下控制解的正则性与衰减？
• RQ4 加权Sobolev范数在控制动量空间中分布函数f的长时间行为中起何作用？
• RQ5 本文所发展的方法能否推广至完整的三维相对论性Vlasov-Maxwell系统，如第二部分所暗示？

主要发现

• 电磁场K的L∞_t([0,T];L∞_x)范数被控制为Ce^{CT^k}，其中C>0且k>0，优于以往的估计。
• 电磁场梯度∇xK在L∞([0,T);L∞_x)中一致有界，且与T无关。
• 加权L1_t([0,T);L∞_xL2_p)范数‖w3∇x,pf‖，其中w3(p) = p0^{3/2}/log(1+p0)，在T上一致有界。
• 粒子轨迹(X,V)的导数在时间上一致有界，从而保证了经典解的全局存在性。
• 在初始数据满足多项式衰减假设的前提下，f及其导数的矩估计在全局时间内保持不变。
• 该方法为将全局存在性结果推广至三维情形提供了框架，详见本工作第二部分。