[论文解读] Strichartz estimates and smooth attractors for a sub-quintic wave equation with fractional damping in bounded domains

Anton Savostianov|Durham Research Online (Durham University)|Mar 28, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems被引用 16

一句话总结

本文建立了有界区域中具有分数阶阻尼 $(-\Delta)^\alpha \partial_t u$ 的次五次方波动方程的 Shatah-Struwe 解的存在性以及光滑指数吸引子的存在性，其中 $\alpha \in (0, \frac{1}{2})$。关键贡献在于为线性化方程推导出类似 Strichartz 的估计，从而能够控制对 $L^5([0,T];L^{10}(\Omega))$ 范数至关重要的项，这使得在标准能量框架之外证明适定性与吸引子存在性成为可能。

ABSTRACT

The work is devoted to Dirichlet problem for sub-quintic semi-linear wave equation with damping damping term of the form $(-Δ)^α\partial_t u$, $α\in(0,\frac{1}{2})$, in bounded smooth domains of $\Bbb R^3$. It appears that to prove well-posedness and develop smooth attractor theory for the problem we need additional regularity of the solutions, which does not follow from the energy estimate. Considering the original problem as perturbation of the linear one the task is reduced to derivation of Strichartz type estimate for the linear wave equation with fractional damping, which is the main feature of the work. Existence of smooth exponential attractor for the natural dynamical system associated with the problem is also established.

研究动机与目标

• 在有界光滑区域中，建立半线性阻尼波动方程具有分数阶阻尼 $(-\Delta)^\alpha \partial_t u$ 且 $\alpha \in (0, \frac{1}{2})$ 的适定性。
• 证明 Shatah-Struwe 解的存在性与唯一性，此类解所需的正则性高于能量解。
• 为由方程生成的动力系统发展光滑吸引子理论，将结果扩展至 $\alpha \geq \frac{1}{2}$ 之外的范围。
• 通过为具有分数阶阻尼的线性化方程推导出类似 Strichartz 的估计，克服标准能量估计中正则性不足的问题。
• 在能量空间 $\mathcal{E}$ 中构造一个在更高正则性空间 $\mathcal{E}_1$ 中有界的光滑指数吸引子。

提出的方法

• 将非线性问题视为具有分数阶阻尼 $(-\Delta)^\alpha \partial_t u$ 的线性阻尼波动方程的扰动。
• 为有界区域中具有分数阶阻尼的线性波动方程推导出类似 Strichartz 的估计，以控制 $L^5([0,T];L^{10}(\Omega))$ 范数。
• 利用推导出的 Strichartz 估计，证明次五次非线性项下 Shatah-Struwe 解的存在性与唯一性。
• 通过吸收性质与光滑效应，建立全局吸引子在能量空间 $\mathcal{E}$ 中的有界性与紧致性。
• 通过时间一映射 $S_1$ 的离散动力系统方法，在 $\mathcal{E}$ 中构造指数吸引子 $\mathcal{M}$，并利用 $S_1$ 在有界吸收集上的利普希茨连续性。
• 证明关键估计 $\|S_1\xi_1 - S_1\xi_2\|_{\mathcal{E}_\alpha} \leq L\|\xi_1 - \xi_2\|_{\mathcal{E}}$ 对于 $\xi_1, \xi_2$ 属于吸收集成立，从而保证指数吸引子的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\alpha \in (0, \frac{1}{2})$ 时，为有界光滑区域中具有分数阶阻尼 $(-\Delta)^\alpha \partial_t u$ 的线性波动方程建立类似 Strichartz 的估计？
• RQ2 标准能量估计在 $\alpha < \frac{1}{2}$ 时正则性不足，是否会导致次五次非线性项下 Shatah-Struwe 解的存在性受阻？
• RQ3 当 $\alpha \in (0, \frac{1}{2})$ 时，能否为半线性波动方程具有分数阶阻尼的动力系统构造一个光滑指数吸引子？
• RQ4 在该参数范围内，解的 $L^5([0,T];L^{10}(\Omega))$ 范数是否可通过 Strichartz 估计实现控制，从而实现超越能量解的更高正则性？
• RQ5 在 $\alpha = 0$ 与 $\alpha = \frac{1}{2}$ 情况下已知的弱吸引子上的反向光滑性性质，是否可推广至 $\alpha \in (0, \frac{1}{2})$？

主要发现

• 为有界光滑区域中具有分数阶阻尼 $(-\Delta)^\alpha \partial_t u$ 的线性波动方程推导出类似 Strichartz 的估计，使得 $L^5([0,T];L^{10}(\Omega))$ 范数得以控制。
• 对于具有次五次非线性项 $f(u)$ 且 $\alpha \in (0, \frac{1}{2})$ 的半线性波动方程，Shatah-Struwe 解存在且唯一，尽管标准能量估计无法提供此类正则性。
• 在能量空间 $\mathcal{E}$ 中存在一个光滑指数吸引子 $\mathcal{M}$，且其在更高正则性空间 $\mathcal{E}_1 = H^{1+\alpha}_0(\Omega) \times H^\alpha(\Omega)$ 中有界。
• 时间一映射 $S_1$ 在有界吸收集 $\mathcal{B}$ 上满足利普希茨估计 $\|S_1\xi_1 - S_1\xi_2\|_{\mathcal{E}_\alpha} \leq L\|\xi_1 - \xi_2\|_{\mathcal{E}}$，从而保证指数吸引子的存在性。
• 全局吸引子 $\mathcal{B} = \bigcup_{t \geq 0} S_t \mathcal{B}_R$ 在 $\mathcal{E}$ 中紧致，正不变，且在 $\mathcal{E}_1$ 中有界，确保了吸引子的光滑性。
• 指数吸引子的构造依赖于嵌入 $\mathcal{E}_\alpha \subset \mathcal{E}$ 的紧致性，以及在 $t \in [0,1]$ 上半群 $S_t$ 在 $\mathcal{E}$-范数下关于 $\mathcal{B}$ 的一致利普希茨连续性。