[论文解读] Strict Ideal Completions of the Lambda Calculus

Patrick Bahr|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 3被引用 2

一句话总结

本文提出基于理想完备化而非度量完备化的无穷型λ演算，为Kennaway等人基于度量的演算提供了保守扩展。通过用两条精确的严格性规则——λx.⊥→⊥ 和 ⊥M→⊥——替代无穷多个⊥-规则，新演算在无需临时处理发散的情况下实现了无穷型归约与合流性，其规范形与Böhmi型树一致。

ABSTRACT

The infinitary lambda calculi pioneered by Kennaway et al. extend the basic lambda calculus by metric completion to infinite terms and reductions. Depending on the chosen metric, the resulting infinitary calculi exhibit different notions of strictness. To obtain infinitary normalisation and infinitary confluence properties for these calculi, Kennaway et al. extend beta-reduction with infinitely many `bot-rules', which contract meaningless terms directly to bot. Three of the resulting Böhm reduction calculi have unique infinitary normal forms corresponding to Böhm-like trees. In this paper we develop a corresponding theory of infinitary lambda calculi based on ideal completion instead of metric completion. We show that each of our calculi conservatively extends the corresponding metric-based calculus. Three of our calculi are infinitarily normalising and confluent; their unique infinitary normal forms are exactly the Böhm-like trees of the corresponding metric-based calculi. Our calculi dispense with the infinitely many bot-rules of the metric-based calculi. The fully non-strict calculus (called 111) consists of only beta-reduction, while the other two calculi (called 001 and 101) require two additional rules that precisely state their strictness properties: lambda x.bot -> bot (for 001) and bot M -> bot (for 001 and 101).

研究动机与目标

• 使用理想完备化而非度量完备化，构建无穷型λ演算。
• 通过引入两条精确规则捕捉严格性，消除Böhmi归约中无穷多个⊥-规则的需要。
• 在保持无穷型归约与合流性的同时，确保对基于度量的演算的保守扩展。
• 证明理想完备化在总项上产生的无穷项与极限，与度量完备化结果一致。
• 建立新演算的唯一规范形与已知的Böhmi型树（如Böhm、Levy-Longo、Berarducci树）完全对应。

提出的方法

• 在含⊥的有限λ项上定义一个依赖于三元组(a,b,c)的偏序≤a⊥，以表示严格性。
• 将理想完备化ΛI,a⊥构造为(Λ⊥, ≤a⊥)中所有有向且上确界有界的子集的集合，形成一个完全半格。
• 证明理想完备化在相同度量下产生与度量完备化相同的无穷项，通过诱导超度量之间的等距同构。
• 基于β归约与两条严格性规则引入超限抽象归约系统：λx.⊥→⊥（适用于001）与⊥M→⊥（适用于001与101）。
• 证明理想完备化中的极限下确界与总项上的度量极限一致，从而确保保守扩展。
• 使用结构归纳法与位置分析（通过P(M)与高度函数）证明⇓d_a(I)的有限性及收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用度量完备化、而改用理想完备化的情况下构建无穷型λ演算，同时保持合流性与归约性等关键性质？
• RQ2 能否用有限条规则精确捕捉严格性，从而替代基于度量的Böhmi归约中无穷多个⊥-规则？
• RQ3 理想完备化演算是否在项结构与收敛性方面对相应的基于度量的演算实现了保守扩展？
• RQ4 理想完备化演算的唯一规范形是否等价于已知的Böhmi型树（如Böhm、Levy-Longo、Berarducci树）？
• RQ5 在001与101演算中，能否仅使用结构规则而不依赖基于度量的⊥-规则，实现无穷型合流性？

主要发现

• 相对于偏序≤a⊥，λ演算的理想完备化产生的无穷项集合与相应度量完备化结果相同。
• 理想完备化上的超度量da_I与度量完备化(da, ΛM,a⊥)之间存在等距同构，确保在总项上收敛行为一致。
• 基于理想完备化的演算对基于度量的演算实现了保守扩展，且在不含⊥的项上极限完全相同。
• 001、101与111演算通过仅使用β归约与两条严格性规则λx.⊥→⊥与⊥M→⊥，实现了无穷型合流性与归约性。
• 这些演算的唯一规范形恰好对应Böhmi型树：Böhm树（111）、Levy-Longo树（001）与Berarducci树（101）。
• 证明表明，对每个理想I，⇓d_a(I)均为有限集合，这对等距同构与收敛性结果至关重要。