[论文解读] Strict monotonicity properties in one-dimensional excited random walks

Jonathon Peterson|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用 11

一句话总结

该论文在 Holmes-Salisbury 部分顺序下，建立了在一维兴奋随机游走中极限速度和存活概率的严格单调性。通过构造相关倒向分支过程的耦合，作者证明了若环境 $ \vec{p} \prec \vec{q} $，则极限速度 $ v(\vec{p}) < v(\vec{q}) $ 且永不返回原点的概率严格递增，从而改进了先前的弱单调性结果。

ABSTRACT

We consider one-dimensional excited random walks with finitely many cookies at each site. There are certain natural monotonicity results that are known for the excited random walk under some partial orderings of the cookie environments. We improve these monotonicity results to be strictly monotone under a partial ordering of cookie environments introduced by Holmes and Salisbury. While the self-interacting nature of the excited random walk makes a direct coupling proof difficult, we show that there is a very natural coupling of the associated branching process from which the monotonicity results follow.

研究动机与目标

• 在饼干环境的细化部分序下，建立一维兴奋随机游走中极限速度和存活概率的严格单调性。
• 在 Holmes-Salisbury 顺序 $ \prec $ 下，将已知的弱单调性结果（例如，当 $ \vec{p} \leq \vec{q} $ 时 $ v(\vec{p}) \leq v(\vec{q}) $）改进为严格不等式。
• 解决一个开放问题：当环境在 $ \prec $ 意义下严格增加时，单调性是否严格成立。
• 开发一种基于倒向分支过程的耦合方法，该方法保持随机优势，并能够比较不变测度。

提出的方法

• 引入饼干环境上的 Holmes-Salisbury 部分序 $ \prec $，其通过具有累积和优势的 i.i.d. 伯努利序列的随机耦合来定义。
• 为满足 $ \vec{p} \prec \vec{q} $ 的环境 $ \vec{p} $ 和 $ \vec{q} $ 构造一个耦合的倒向分支过程，确保对所有 $ i $ 几乎必然有 $ Z_i \geq Z_i' $。
• 利用正递归马尔可夫链的遍历定理，将极限速度 $ v(\vec{p}) $ 与分支过程不变测度的期望 $ E_{\vec{p}}^\infty[Z_0] $ 联系起来。
• 应用耦合论证，证明 $ P_{\vec{p},\vec{q}}^\infty(Z_0 > Z_0') > 0 $，从而在 $ \delta(\vec{p}) > 2 $ 时推出 $ E_{\vec{p}}^\infty[Z_0] > E_{\vec{q}}^\infty[Z_0] $。
• 从分支过程表示中推导出公式 $ v(\vec{p}) = \frac{1}{1 + 2E_{\vec{p}}^\infty[Z_0]} $，该公式将速度与不变测度联系起来。
• 结合耦合与不变测度比较，证明严格单调性：$ \vec{p} \prec \vec{q} $ 蕴含 $ v(\vec{p}) < v(\vec{q}) $ 且 $ P_{\vec{p}}(X_n > 0 \, \forall n) < P_{\vec{q}}(X_n > 0 \, \forall n) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当饼干环境 $ \vec{p} $ 在 Holmes-Salisbury 部分序 $ \prec $ 下增加时，极限速度 $ v(\vec{p}) $ 是否严格增加？
• RQ2 在相同顺序下，存活概率 $ P_{\vec{p}}(X_n > 0 \, \forall n) $ 是否严格增加？
• RQ3 尽管兴奋随机游走具有自相互作用性，无法直接耦合游走路径，是否仍可建立严格单调性？
• RQ4 关联的倒向分支过程的不变测度与兴奋随机游走的极限速度之间有何关系？
• RQ5 具有累积和优势的伯努利序列的耦合，如何转化为相关分支过程的随机优势？

主要发现

• 在 Holmes-Salisbury 顺序下，极限速度 $ v(\vec{p}) $ 关于 $ \vec{p} $ 严格递增：若 $ \vec{p} \prec \vec{q} $，则 $ v(\vec{p}) < v(\vec{q}) $。
• 永不返回原点的概率 $ P_{\vec{p}}(X_n > 0 \, \forall n) $ 在 $ \prec $ 顺序下严格递增。
• 证明依赖于与 $ \vec{p} $ 和 $ \vec{q} $ 相关的倒向分支过程的耦合，确保 $ Z_i \geq Z_i' $ 几乎必然成立，且 $ P_{\vec{p},\vec{q}}^\infty(Z_0 > Z_0') > 0 $。
• 倒向分支过程的不变测度 $ P_{\vec{p}}^\infty $ 满足：当 $ \vec{p} \prec \vec{q} $ 且 $ \delta(\vec{p}) > 2 $ 时，有 $ E_{\vec{p}}^\infty[Z_0] > E_{\vec{q}}^\infty[Z_0] $，这蕴含速度的严格增加。
• 公式 $ v(\vec{p}) = \frac{1}{1 + 2E_{\vec{p}}^\infty[Z_0]} $ 即使在 $ \delta(\vec{p}) \in (1,2] $ 时也成立（此时 $ v(\vec{p}) = 0 $），并被用于推导严格单调性结果。
• 该耦合方法成功克服了兴奋随机游走自相互作用带来的挑战，通过间接利用分支过程表示实现。