[论文解读] Strict unimodality of q-polynomials of rooted trees

Zhiyun Cheng, Sujoy Mukherjee+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文对具有严格单峰 q-多项式（即拔取多项式）的有根树进行分类，提供了梯形形状的判定准则，并推广了 Pak 与 Panova 关于 q-二项式系数单峰性的结果。研究证明，严格单峰 q-多项式恰好来源于特定的有根树结构，并且证明了拔取多项式唯一地确定了简化树中的边数，尽管可能存在多个非同构的树共享相同的多项式。

ABSTRACT

We classify rooted trees which have strictly unimodal q-polynomials (plucking polynomial). We also give criteria for a trapezoidal shape of a plucking polynomial. We generalize results of Pak and Panova on strict unimodality of q-binomial coefficients. We discuss which polynomials can be realized as plucking polynomials and whether or not different rooted trees can have the same plucking polynomial.

研究动机与目标

• 对拔取多项式为严格单峰的有根树进行分类。
• 提供拔取多项式呈现梯形形状的判定条件。
• 推广 Pak 与 Panova 关于 q-二项式系数严格单峰性的先前结果。
• 研究哪些多项式可作为有根树的拔取多项式被实现。
• 确定不同的有根树是否可能产生相同的拔取多项式。

提出的方法

• 通过平面有根树中叶节点的贡献和右边缘计数，递归定义拔取多项式。
• 应用楔积公式：$ Q(T_1 \vee T_2) = \binom{|E(T_1)|+|E(T_2)|}{|E(T_1)|,|E(T_2)|}_q Q(T_1)Q(T_2) $。
• 采用状态积公式：$ Q(T) = \prod_{v \in V(T)} \binom{E(T^v)}{E(T^v_{k_v}), \dots, E(T^v_1)}_q $。
• 分析 q-整数与高斯多项式 $ \binom{n+k}{k,n}_q $ 在 $ k=2,3,4 $ 时的乘积，以推导结构约束。
• 通过函数 $ f $ 将边和映射到边数，递归构造有根树，以确保多项式的实现。
• 利用对称单峰多项式满足 $ c_0 = c_N = 1 $ 且 $ c_1 = \sum (k_v - 1) $ 时，其为回文多项式且具有单峰性这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有根树具有严格单峰的拔取多项式？
• RQ2 拔取多项式中何种条件决定其呈现梯形形状？
• RQ3 在何种条件下，q-整数的乘积可作为有根树的拔取多项式被实现？
• RQ4 多个非同构的有根树是否可能具有相同的拔取多项式？
• RQ5 哪些有根树上的变换能保持拔取多项式不变？这些变换能否对所有此类等价关系进行分类？

主要发现

• 拔取多项式 $ Q(T) $ 始终是对称的、单峰的，并且是回文多项式，其常数项与首项系数均为 1。
• 当且仅当系数序列满足 $ c_0 < c_1 < \cdots < c_{\lfloor N/2\rfloor} = c_{\lceil N/2\rceil} > \cdots > c_N $ 时，$ Q(T) $ 为严格单峰。
• 对于满足 $ a_{i+1} - a_i \geq 2 $ 的 q-整数乘积 $ [a_1]_q \cdots [a_k]_q $，存在唯一的有根树实现。
• 当 $ a_{i+1} = a_i + 1 $ 且 $ a_i \geq 5 $ 时，恰好存在两个不同的有根树实现相同的多项式，尽管它们作为无根树是同构的。
• 对于简化有根树，映射 $ T \mapsto Q(T) $ 是有限对一的，因为 $ Q(T) $ 唯一确定了边的数量。
• 存在多个非同构的简化有根树，其拔取多项式完全相同，如通过构造 $ n $ 棵树共享同一 q-整数乘积所示。