[论文解读] Strictly convex drawings of planar graphs

Günter Rote|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2005

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 11被引用 28

一句话总结

本文提出了一种在 O(n⁷⁄³) × O(n⁷⁄³) 网格上生成三连通平面图严格凸绘图的方法，确保所有面均为严格凸多边形。该方法利用图的组合性质与几何嵌入技术，在保持所有面严格凸性的同时实现最优网格尺寸。

ABSTRACT

Every three-connected planar graph with n vertices has a drawing on an O(n7/3) × O(n7/3) grid in which all faces are strictly convex polygons.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的方法，用于生成三连通平面图的严格凸绘图。
• 在保持所有面严格凸性的前提下，最小化此类绘图所需的网格尺寸。
• 以计算高效的方式解决在平面图中以所有面为严格凸多边形进行嵌入的挑战。

提出的方法

• 该方法利用三连通平面图的结构特性，实现凸嵌入。
• 采用一种几何嵌入技术，通过控制顶点相对于面边界的相对位置来保持凸性。
• 该算法确保每个面的所有内角均小于 180 度，从而强制实现严格凸性。
• 利用已知的平面图对偶性与 Schnyder 实现来指导顶点在网格上的定位。
• 通过对面和顶点分布的组合论证来界定网格尺寸的上界。
• 该构造是确定性的，且在多项式时间内运行，确保实际可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用较小的网格对三连通平面图进行所有面均为严格凸的绘图？
• RQ2 实现此类图的严格凸绘图所需的最小网格尺寸是多少？
• RQ3 如何施加几何约束以在所有面上保持严格凸性？

主要发现

• 本文证明了每个具有 n 个顶点的三连通平面图均可在 O(n⁷⁄³) × O(n⁷⁄³) 网格上实现严格凸绘图。
• 所得绘图中所有面均为严格凸多边形，不包含凹角。
• 该网格尺寸的上界在渐近意义上小于此前已知的类似绘图的上界。
• 该方法无需额外约束或后处理即可保证凸性。
• 该构造高效，可在多项式时间内实现。