[论文解读] Strictly convex space : Strong orthogonality and Conjugate diameters

‎Debmalya Sain, Kallol Paul+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Advanced Banach Space Theory参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过Birkhoff-James正交性建立了严格凸赋范线性空间的刻画：一个空间是严格凸的，当且仅当对所有单位向量 $x, y$，有 $x \perp_B y$ 蕴含 $x \perp_{SB} y$。主要贡献在于给出了Hamel基在Birkhoff-James意义下为强正交基的充要条件，并建立了二维严格凸空间中共轭直径与此类基之间的联系。

ABSTRACT

In a normed linear space X an element x is said to be orthogonal to another element y in the sense of Birkhoff-James, written as $ x \perp_{B}y, $ iff $ \| x \| \leq \| x + λy \| $ for all scalars $ λ.$ We prove that a normed linear space X is strictly convex iff for any two elements x, y of the unit sphere $ S_X$, $ x \perp_{B}y $ implies $ \| x + λy \| > 1~ \forall~ λ eq 0. $ We apply this result to find a necessary and sufficient condition for a Hamel basis to be a strongly orthonormal Hamel basis in the sense of Birkhoff-James in a finite dimensional real strictly convex space X. Applying the result we give an estimation for lower bounds of $ \| tx+(1-t)y\|, t \in [0,1] $ and $ \| y + λx \|, ~\forall ~λ$ for all elements $ x,y \in S_X $ with $ x \perp_B y. $ We find a necessary and sufficient condition for the existence of conjugate diameters through the points $ e_1,e_2 \in ~S_X $ in a real strictly convex space of dimension 2. The concept of generalized conjuagte diameters is then developed for a real strictly convex smooth space of finite dimension.

研究动机与目标

• 通过Birkhoff-James正交性与强正交性之间的关系，刻画严格凸赋范线性空间。
• 确定在有限维实严格凸空间中，Hamel基在Birkhoff-James意义下为强正交Hamel基的必要与充分条件。
• 研究二维实严格凸赋范空间单位球面上共轭直径的存在性与结构。
• 将共轭直径的概念推广至高维严格凸光滑空间，并将其与Radon曲线相联系。
• 为严格凸空间中涉及正交向量的线性组合的范数提供下界。

提出的方法

• 证明赋范线性空间 $X$ 是严格凸的，当且仅当对所有 $x, y \in S_X$，有 $x \perp_B y$ 蕴含 $x \perp_{SB} y$。
• 利用该刻画，推导出Hamel基在Birkhoff-James意义下为强正交Hamel基的必要与充分条件。
• 为 $\|y + \lambda x\|$ 建立下界，当 $x \perp_B y$ 时，有 $\|y + \lambda x\| > \frac{1}{2}$，在严格凸空间中成立。
• 在二维严格凸空间中，将共轭直径定义为通过 $e_1, e_2$ 的一对直径，满足 $e_1 \perp_B e_2$ 且 $e_2 \perp_B e_1$，并证明其存在当且仅当 $\{e_1, e_2\}$ 是Birkhoff-James意义下的强正交Hamel基。
• 通过定义任意一对均为共轭的 $n$ 条直径，将共轭直径推广至高维空间。
• 证明二维实严格凸光滑空间的单位球为Radon曲线，当且仅当单位球上每一点都包含于某个Birkhoff-James意义下的强正交Hamel基中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在赋范线性空间中，Birkhoff-James正交性在什么条件下蕴含强Birkhoff-James正交性？
• RQ2 在有限维实严格凸空间中，Hamel基在Birkhoff-James意义下为强正交Hamel基的必要与充分条件是什么？
• RQ3 在二维实严格凸空间的单位球面上，什么条件下两条直径可称为共轭直径？
• RQ4 共轭直径的概念如何推广至高维严格凸光滑空间？
• RQ5 单位球为Radon曲线与单位球上每一点均属于某个强正交Hamel基之间存在何种关系？

主要发现

• 实赋范线性空间 $X$ 是严格凸的，当且仅当对所有 $x, y \in S_X$，有 $x \perp_B y$ 蕴含 $x \perp_{SB} y$。
• 在有限维实严格凸空间中，Hamel基 $\{e_1, \dots, e_m\}$ 是Birkhoff-James意义下的强正交Hamel基，当且仅当 $\max_i S_i = 1$，其中 $S_i$ 是任一单位向量在 $e_i$ 的表示中系数的绝对值集合。
• 对任意满足 $x \perp_B y$ 的 $x, y \in S_X$，有 $\|y + \lambda x\| \geq \frac{1}{2}$ 对所有标量 $\lambda$ 成立，且若 $X$ 严格凸，则 $\|y + \lambda x\| > \frac{1}{2}$。
• 在二维实严格凸空间中，单位球 $S_X$ 存在通过 $e_1, e_2$ 的共轭直径对，当且仅当 $\{e_1, e_2\}$ 是Birkhoff-James意义下的强正交Hamel基。
• 二维实严格凸光滑空间的单位球为Radon曲线，当且仅当单位球上每一点都包含于某个Birkhoff-James意义下的强正交Hamel基中。
• 在有限维实严格凸光滑空间中，广义共轭直径定义为一组 $n$ 条直径，使得每对均为共轭；例如，在 $\ell^n_p$（$1 < p < \infty$）中此类集合存在。