[论文解读] Strictly homotopy invariance of Nisnevich sheaves with GW-transfers

Andrei Druzhinin|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 9

一句话总结

该论文证明了在特征不为2的完美域上，与具有GW-转移的同伦不变预层相关联的Nisnevich层具有严格同伦不变性。通过显式构造对应关系和谱序列论证，证明了上同调群满足 $ H^i_{\text{Nis}}(\mathbb{A}^1 \times X, \widetilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}) \simeq H^i_{\text{Nis}}(X, \widetilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}) $，这是通过Voevodsky-Suslin方法构造GW-动机的三角范畴 $\mathbf{DM}^{GW}(k)$ 所必需的。

ABSTRACT

The strictly homotopy invariance of the associated Nisnevish sheave $\widetilde{\mathcal F}_{Nis}$ of a homotopy invariant presheave $\mathcal F$ with GW-transfers (or Witt-transfers) on the category of smooth varieties over a prefect field $k$, $char\,k eq 2$, is proved, i.e. the isomorphism $$H^i_{Nis}(\mathbb A^1 imes X,\widetilde{\mathcal F}_{Nis})\simeq H^i_{Nis}(X,\widetilde{\mathcal F}_{Nis})$$ for any $X\in Sm_k$ is obtained. This theorem is necessary for the construction of the triangulated category of GW-motives $\mathbf{DM}^{GW}(k)$ and Witt-motives $\mathbf{DM}^W(k)$ by the Voevodsky-Suslin method originally used for the construction of the category of motives $\mathbf{DM}(k)$. In particular, the result of the article gives the direct prove of the strictly homotopy invariance of the Nisnevich sheaves associated to hermitian K-theory and Witt-groups (without using of the representability of these cohomology theories in the motivic homotopy category $\mathbf H_{\mathbb A^1}(k)$ proved by Hornbostle [Horn_ReprKOWitt]); and on other side the strictly homotopy invariance theorem proved here and the representability criteria proved in [Horn_ReprKOWitt] implies that cohomologies $H^i_{nis}(-,\widetilde{\mathcal F}_{nis})$ of the associated sheaf of a homotopy invariant presheave with GW-(Witt-)transfers $\mathcal F$ are representable in $\mathbf H_{\mathbb A^1}(k)$.

研究动机与目标

• 建立在特征不为2的完美域 $k$ 上，与具有GW-转移的同伦不变预层相关联的Nisnevich层的严格同伦不变性。
• 提供一个直接证明，证明与埃尔米特K-理论和Witt-群相关联的层的同伦不变性，而不依赖于其在 $\mathbf{H}_{\mathbb{A}^1}(k)$ 中的表示性。
• 通过Voevodsky-Suslin方法支持三角范畴 $\mathbf{DM}^{GW}(k)$ 的构造。
• 表明与这些预层相关联的上同调理论在 motivic 同伦范畴 $\mathbf{H}_{\mathbb{A}^1}(k)$ 中具有表示性。

提出的方法

• 使用Voevodsky-Suslin方法，通过 $\mathbb{A}^1$-等价关系对具有GW-转移的Nisnevich层的导出范畴进行局部化，从而定义 $\mathbf{DM}^{GW}_{\text{eff}}(k)$。
• 应用Dold-Kan对应，将 $\widetilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}$ 的内射化解 $\mathcal{I}^\bullet$ 关联到一个单纯预层 $\mathcal{I}_s$，以确保满足Nisnevich-Mayer-Viertoris性质和同伦不变性。
• 对投影映射 $X \times \mathbb{G}_m \to X$ 应用Leray谱序列，分析 $X \times \mathbb{A}^1$ 上的上同调，证明其退化，原因在于高阶直接像的消失。
• 构造Nisnevich邻域，并通过闭子概形的维数归纳法，证明 $X \times \mathbb{A}^1/0$ 上的上同调群消失，依赖于闭子概形的结构和一般点的性质。
• 应用Nisnevich邻域和henselization的定理，比较层在点处的芽，证明上同调群的同构。
• 通过自然函子 $GWCor \to WCor$ 将结果推广到Witt-转移，从而得到Witt-动机的类似结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 与具有GW-转移的同伦不变预层相关联的Nisnevich层是否具有严格同伦不变性，即对所有关于完美域 $k$（$\operatorname{char}\,k \neq 2$）的光滑概形 $X$，是否成立 $H^i_{\text{Nis}}(\mathbb{A}^1 \times X, \widetilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}) \simeq H^i_{\text{Nis}}(X, \widetilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}})$？
• RQ2 能否在不依赖于 motivic 同伦范畴 $\mathbf{H}_{\mathbb{A}^1}(k)$ 中表示性的前提下，直接证明此类层的严格同伦不变性？
• RQ3 在具备该不变性的情况下，与GW-转移相关联的上同调理论（例如高阶埃尔米特K-理论）是否在 $\mathbf{H}_{\mathbb{A}^1}(k)$ 中具有表示性？
• RQ4 用于GW-转移的方法在多大程度上可推广到Witt-转移？在此背景下，函子 $GWCor \to WCor$ 的作用是什么？

主要发现

• 与层 $\widetilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}$ 相关的Nisnevich上同调具有严格同伦不变性：对所有关于特征不为2的完美域 $k$ 的光滑概形 $X$，有 $H^i_{\text{Nis}}(\mathbb{A}^1 \times X, \widetilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}) \simeq H^i_{\text{Nis}}(X, \widetilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}})$。
• 该结果为与埃尔米特K-理论和Witt-群相关联的层提供了直接证明，其严格同伦不变性不依赖于Hornbostel在 $\mathbf{H}_{\mathbb{A}^1}(k)$ 中的表示性结果。
• 层 $\widetilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}$ 的上同调预层在 motivic 同伦范畴 $\mathbf{H}_{\mathbb{A}^1}(k)$ 中具有表示性，这是通过Dold-Kan对应以及相关单纯预层的同伦不变性所证明的。
• 该证明依赖于对闭子概形维数的归纳法，以及利用Nisnevich邻域将上同调消失性归约为在一般点处的芽。
• 投影映射 $pr: X \times \mathbb{G}_m \to X$ 的谱序列退化，导致 $H^i(X, \widetilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}) \simeq H^i(X, \widetilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}|_{U})$，这支持了同伦不变性。
• 通过自然函子 $GWCor \to WCor$ 将结果推广到Witt-转移，意味着Witt-层也具有类似的严格同伦不变性。