[论文解读] Strictly self-similar fractals composed of star-polygons that are attractors of Iterated Function Systems

Vassil Tzanov|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文提出了一种广义的迭代函数系统（IFS）框架，用于从正则星形多边形构造严格自相似分形，特别是Sierpinski $n$-多边形和$n$-雪花。推导出精确的缩放比例 $P(n,m)$ 以确保非自交结构，并证明了∞-多边形的Hausdorff维数为1，∞-雪花的Hausdorff维数为2，同时提供了基于IFS的随机游走可视化MATLAB代码。

ABSTRACT

In this paper are investigated strictly self-similar fractals that are composed of an infinite number of regular star-polygons, also known as Sierpinski $n$-gons, $n$-flakes or polyflakes. Construction scheme for Sierpinsky $n$-gon and $n$-flake is presented where the dimensions of the Sierpinsky $\infty$-gon and the $\infty$-flake are computed to be 1 and 2, respectively. These fractals are put in a general context and Iterated Function Systems are applied for the visualisation of the geometric iterations of the initial polygons, as well as the visualisation of sets of points that lie on the attractors of the IFS generated by random walks. Moreover, it is shown that well known fractals represent isolated cases of the presented generalisation. The IFS programming code is given, hence it can be used for further investigations.

研究动机与目标

• 开发一种通用方法，利用迭代函数系统（IFS）从正则星形多边形生成严格自相似分形。
• 推导出确保Sierpinski $n$-多边形和$n$-雪花中非自交分形结构的缩放比例 $P(n,m)$ 的闭式表达式。
• 计算并证明极限分形的Hausdorff维数，特别证明∞-多边形的维数为1，∞-雪花的维数为2。
• 提供一个功能性的MATLAB IFS随机游走生成器，用于可视化这些分形并支持进一步研究。
• 证明不同的初始星形多边形在IFS下可产生相同的吸引子，并识别决定分形形状的关键参数。

提出的方法

• 利用$∗{n/m}$-多边形的中心角和弦长的几何定律推导缩放比例 $P(n,m)$，确保复制副本不重叠、不自交。
• 应用Hutchinson-Barnsley定理，确立分形吸引子作为IFS不动点的存在性与唯一性。
• 对$n$-多边形使用$n$个压缩映射，对$n$-雪花使用额外的中心映射，结合旋转与缩放以生成非自交结构。
• 提出一种适用于偶数和奇数$n$的$n$-雪花通用构造方案，通过推导的旋转与缩放参数确保不相交。
• 在IFS框架中采用随机游走算法模拟并可视化吸引子，提供支持中心映射旋转的MATLAB实现。
• 通过计算迭代次数与缩放因子，利用自相似性分析吸引子的几何结构，以确定分形维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种缩放比例 $P(n,m)$ 可确保在Sierpinski $n$-多边形构造中，$n$ 个$∗{n/m}$-多边形的缩放副本不自交？
• RQ2 通过无限次IFS迭代生成的极限∞-多边形和∞-雪花分形的Hausdorff维数是多少？
• RQ3 不同的初始星形多边形能否生成相同的IFS吸引子？若能，决定最终分形形状的关键参数是什么？
• RQ4 如何将通用IFS构造推广至偶数和奇数$n$，以生成非自交的$n$-雪花？
• RQ5 中心映射的旋转与缩放在实现非自交$n$-雪花结构中起到什么作用？

主要发现

• 缩放比例 $P(n,m)$ 通过几何方法推导为 $P(n,m) = \frac{1}{2\sin(\pi m/n)}$，确保Sierpinski $n$-多边形无自交。
• Sierpinski ∞-多边形的Hausdorff维数被严格证明为1，与之线性、一维的结构一致。
• ∞-雪花的Hausdorff维数被证明为2，表明其为填满平面的、类似平面的分形结构。
• 计算得出$F\{6,2\}[L^2,\pi/6]$吸引子的维数为2，证实该推广适用于特定多边形情形。
• 不同的初始星形多边形可产生相同的IFS吸引子，决定性参数为缩放比例$P$与旋转对称性。
• 提供了一个可运行的MATLAB IFS随机游走生成器，支持中心映射旋转，可实现所有推导出的分形的可视化。