[论文解读] Strictly stable distributions on convex cones

Youri Davydov, Ilya Molchanov+1 more|ArXiv.org|Dec 9, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 37被引用 5

一句话总结

本文通过并集稳定泊松点过程的联合稳定泊松点过程，建立了一个在凸锥上构造严格稳定分布的一般框架，利用LePage级数表示。证明了二项点过程在粗略拓扑和更强拓扑下收敛于稳定分布，扩展了经典极限定理，并通过半群上的调和分析刻画了稳定性指数 α 的可能取值，应用包括随机集、随机测度和特征函数。

ABSTRACT

Using the LePage representation, a strictly stable random element in a Banach space with $α\in(0,2)$ can be represented as a sum of points of a Poisson process. This point process is union-stable, i.e. the union of its two independent copies coincides in distribution with the rescaled original point process. These concepts makes sense in any convex cone, i.e. in a commutative semigroup equipped with multiplication by numbers, and lead to a construction of stable laws in general cones by means of the LePage series. The corresponding limit theorem shows that random samples (or binomial point processes) converge in distribution to the union-stable Poisson point process, and so yields a limit theorem for normalised sums of random elements with $α$-stable limit for $α\in(0,1)$. By using the technique of harmonic analysis on semigroups we characterise distributions of $α$-stable random elements and show how possible values of $α$ relate to the properties of the semigroup and the corresponding scaling operation, in particular, their distributivity properties. The approach developed in the paper not only makes it possible to handle stable distributions in rather general cones (like spaces of sets or measures), but also provides an alternative way to prove classical limit theorems and deduce the LePage representation for strictly stable random vectors in Banach spaces.

研究动机与目标

• 将严格稳定分布的理论从巴拿赫空间推广至一般凸锥。
• 通过二项点过程收敛的途径，建立归一化和收敛于 α ∈ (0,1) 的 α-稳定分布的极限定理。
• 利用半群上的调和分析和锥运算的可分配性性质，刻画稳定性指数 α 的可能取值。
• 为抽象凸锥中的 SαS 随机元素提供一个通用的LePage级数表示，包括随机测度和特征函数的空间。
• 在半群理论框架下统一并推广经典关于稳定分布及其吸引域的结果。

提出的方法

• 利用LePage表示，将巴拿赫空间中对称 α-稳定随机元素表示为巴拿赫空间中泊松点过程点的和。
• 引入凸锥中点过程的并集稳定性的概念，其中两个独立副本的并集分布与原始过程的缩放版本相同。
• 应用粗略拓扑收敛性，证明一般锥中的二项点过程收敛于并集稳定的泊松点过程，从而推出和的收敛性至 α-稳定分布。
• 采用半群上的调和分析，刻画 SαS 元素的拉普拉斯变换，并推导出 α-稳定性的必要与充分条件。
• 推导 Lévy 测度的积分表示，并利用其直接从第二对偶半群上的 Lévy 测度构造 LePage 级数。
• 分析 Lévy 测度的支撑，并研究 LePage 级数收敛的条件，特别是在随机测度和特征函数的锥中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，凸锥中的二项点过程在分布上收敛于并集稳定的泊松点过程？
• RQ2 在给定凸锥中，SαS 分布的稳定性指数 α 的可能取值有哪些，其与锥的代数结构有何关联？
• RQ3 在凸锥中，严格稳定随机元素在何种条件下可表示为 LePage 级数？
• RQ4 在随机测度或特征函数的锥中，如何建立 LePage 级数收敛性的证明？
• RQ5 锥的运算的可分配性与次不变性性质在决定 SαS 分布可能的 α 取值范围中起什么作用？

主要发现

• 在一般凸锥中，二项点过程在粗略拓扑下收敛于并集稳定的泊松点过程，且在更强拓扑下也收敛，从而保证了和的收敛性。
• 对于 α ∈ (0,1)，在凸锥中同分布随机元素的归一化和收敛于 SαS 分布，推广了经典的吸引域结果。
• 稳定性指数 α 受半群结构的限制：例如，在概率测度的锥中，仅允许 α > 0，且非平凡 SαS 分布要求 α ≤ 2。
• 在特征函数的锥中，LePage 级数收敛当且仅当 β > α，其中 β 是级数中使用的 i.i.d. 特征函数的指数，此时极限的指数为 α/β。
• 若 Lévy 测度满足特定支撑与可积性条件，SαS 元素在抽象锥中存在 LePage 级数表示，且该表示可直接从第二对偶半群上的 Lévy 测度构造。
• 对于可积的概率测度，存在一个次不变齐次范数，确保对所有 α ∈ (0,1) LePage 级数收敛，如形状参数服从伽马分布的情形所示。