[论文解读] String Attractors and Combinatorics on Words

Sabrina Mantaci, Antonio Restivo+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2019

Algorithms and Data Compression参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文研究字符串吸引子作为分析有限与无限词的组合工具，表明标准Sturmian词的最小字符串吸引子大小为2，Thue-Morse词具有对数规模的吸引子（猜想为最小），de Bruijin词的吸引子大小渐近增长为 $ n / \log n $。该研究建立了吸引子大小与词复杂度之间的联系，提出了一种新的组合词分析度量。

ABSTRACT

The notion of \emph{string attractor} has recently been introduced in [Prezza, 2017] and studied in [Kempa and Prezza, 2018] to provide a unifying framework for known dictionary-based compressors. A string attractor for a word $w=w[1]w[2]\cdots w[n]$ is a subset $Γ$ of the positions $\{1,\ldots,n\}$, such that all distinct factors of $w$ have an occurrence crossing at least one of the elements of $Γ$. While finding the smallest string attractor for a word is a NP-complete problem, it has been proved in [Kempa and Prezza, 2018] that dictionary compressors can be interpreted as algorithms approximating the smallest string attractor for a given word. In this paper we explore the notion of string attractor from a combinatorial point of view, by focusing on several families of finite words. The results presented in the paper suggest that the notion of string attractor can be used to define new tools to investigate combinatorial properties of the words.

研究动机与目标

• 研究字符串吸引子在著名词族中的组合性质。
• 确定标准Sturmian词、Thue-Morse词和de Bruijin词的最小字符串吸引子的大小。
• 探讨吸引子位置的分布与结构是否反映词的更深层次组合特征。
• 提出将字符串吸引子大小作为词复杂度的潜在新度量。
• 为morphism生成的词和吸引子分布开启新的研究方向。

提出的方法

• 本文将字符串吸引子定义为一组位置，使得词的每个不同因子至少在一个集合中的位置处出现。
• 应用字典压缩和Burrows-Wheeler变换的已知结果来界定吸引子大小。
• 对于标准Sturmian词，证明利用了其因子分解性质和共轭结构，表明存在一个大小为2、由两个连续位置组成的最小吸引子。
• 对于Thue-Morse词，基于该词的递归结构，提供了一个大小为 $ \log n $ 的字符串吸引子构造。
• 对于de Bruijin词，该方法结合了LZ分词界限以及所有 $ k $-长度子串恰好出现一次的事实，推导出吸引子大小的渐近界限。
• 通过LZ解析的定理7.1和7.2推导出理论界限，得到de Bruijin词长度为 $ n + k - 1 $ 时，$ \frac{n}{\log n} \leq \gamma^* \leq \frac{n}{(1 - \epsilon_n)\log n} + 1 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 标准Sturmian词的最小字符串吸引子大小是多少，能否从组合角度进行刻画？
• RQ2 Thue-Morse词的 $ \log n $-规模字符串吸引子是否是最小的，词的何种结构特性支持这一结论？
• RQ3 de Bruijin词的最小字符串吸引子大小如何增长，这对它们的可压缩性和结构意味着什么？
• RQ4 最小字符串吸引子中位置的分布能否揭示词的组合复杂度的深层信息？
• RQ5 morphism生成与无限词中最小字符串吸引子大小之间存在何种关系？

主要发现

• 任何标准Sturmian词的最小字符串吸引子大小恰好为2，且由两个连续位置组成。
• 存在一个大小为 $ \log n $ 的字符串吸引子，适用于长度为 $ n $ 的Thue-Morse词，作者猜想该值为最小。
• 对于字母表大小为 $ \sigma $、阶数为 $ k $ 的de Bruijin词，最小字符串吸引子的大小渐近增长为 $ \frac{n}{\log n} $，其中 $ n = \sigma^k $。
• de Bruijin词的下界 $ \frac{n}{\log n} $ 源于所有 $ k $-长度子串恰好出现一次，从而限制了吸引子位置之间的最大距离。
• de Bruijin词中最小字符串吸引子的上界为 $ \frac{n}{(1 - \epsilon_n)\log n} + 1 $，其中 $ \epsilon_n = 2\frac{1 + \log(\log(\sigma n))}{\log n} $。
• 结果表明，吸引子位置的分布（而不仅仅是其大小）可能具有组合意义，为复杂度分析开辟了新途径。