[论文解读] String Cohomology of a Toroidal Singularity

Lev Borisov|ArXiv.org|Feb 10, 1998

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 7被引用 16

一句话总结

本文在有理、加权的锥 $ K $ 的半群环 $ R = \mathbb{C}[K] $ 中构造了正则序列，提出商环 $ R/ZR $ 作为轨道奇点的局部弦论上同调的候选者。通过使用通用向量 $ \xi $ 对格点进行分解，建立了类似庞加莱对偶性的同构，并给出了霍斯特尔关于此类半群环的科亨-麦克aul伊性质的初等证明。

ABSTRACT

We construct explicitly regular sequences in the semigroup ring $R=\CC[K]$ of lattice points of the graded cone $K$. We conjecture that the quotients of $R$ by these sequences describe locally string-theoretic cohomology of a toroidal singularity associated to $K$. As a byproduct, we give an elementary proof of the result of Hochster that semigroup rings of rational polyhedral cones are Cohen-Macaulay.

研究动机与目标

• 确定 $ N=(2,2) $ 超共形场论中轨道奇点对弦论上同调的局部贡献的候选者。
• 在与有理、加权锥 $ K $ 关联的半群环 $ R = \mathbb{C}[K] $ 中构造正则序列。
• 给出霍斯特尔定理的初等证明，即有理多面锥的半群环是科 Hen-Macaulay 的。
• 将构造与镜像对称（特别是 A 侧）联系起来，并提示与 GKZ 超几何系统的关系。

提出的方法

• 使用通用向量 $ \xi \in K^{\text{open}} $ 定义正则剖分 $ T $ 中单形内的格点集合 $ B_{I,\xi} $ 和 $ B_{I,-\xi} $。
• 将 $ K \cap N $ 和 $ K^{\text{open}} \cap N $ 分解为不相交的并集 $ b + \sum_{i \in I} \mathbb{Z}_{\geq 0} e_i $，其中 $ b \in B_{I,\xi} $ 或 $ b \in B_{I,-\xi} $。
• 定义生成函数 $ S(t) = (1-t)^r \sum_{n \in K \cap N} t^{\deg(n)} $ 和 $ T(t) = (1-t)^r \sum_{n \in K^{\text{open}} \cap N} t^{\deg(n)} $，并证明 $ S(t) = \sum_{I,b \in B_{I,\xi}} t^{\deg(b)} $ 且 $ T(t) = \sum_{I,b \in B_{I,-\xi}} t^{\deg(b)} $。
• 利用分解和系数 $ a_i $ 的选择，在 $ R = \mathbb{C}[K] $ 和 $ R $-模 $ R^{\text{open}} = \mathbb{C}[K^{\text{open}}] $ 中显式构造正则序列 $ Z $。
• 利用生成函数的对偶性 $ S(t) = t^r T(t^{-1}) $，在 $ R/ZR $ 和 $ R^{\text{open}}/ZR^{\text{open}} $ 之间建立庞加莱对偶同构。
• 提出 $ R/ZR $ 代表奇点的局部弦上同调，而 $ R^{\text{open}}/ZR^{\text{open}} $ 作为对偶的同调类空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过半群环 $ \mathbb{C}[K] $ 中的正则序列显式描述轨道奇点的局部弦论上同调？
• RQ2 轨道奇点的弦上同调中的庞加莱对偶性结构如何在代数上实现？
• RQ3 是否存在霍斯特尔定理的初等证明，即有理多面锥的半群环是科 Hen-Macaulay 的？
• RQ4 所构造的上同调空间与镜像对称的 A 侧之间有何关系，特别是与 GKZ 超几何系统的关系？

主要发现

• 集合 $ K \cap N $ 是不相交并集 $ b + \sum_{i \in I} \mathbb{Z}_{\geq 0} e_i $，其中 $ b \in B_{I,\xi} $，而 $ K^{\text{open}} \cap N $ 是 $ b \in B_{I,-\xi} $ 的不相交并集。
• 生成函数满足 $ S(t) = \sum_{I,b \in B_{I,\xi}} t^{\deg(b)} $ 且 $ T(t) = \sum_{I,b \in B_{I,-\xi}} t^{\deg(b)} $，且 $ S(t) = t^r T(t^{-1}) $。
• 利用分解和系数 $ a_i $，在 $ R = \mathbb{C}[K] $ 和 $ R $-模 $ R^{\text{open}} = \mathbb{C}[K^{\text{open}}] $ 中显式构造了正则序列 $ Z $。
• 提出商环 $ R/ZR $ 为轨道奇点的局部弦上同调，而 $ R^{\text{open}}/ZR^{\text{open}} $ 为对偶的同调空间。
• 基于生成函数的对偶性，建立了 $ R/ZR $ 和 $ R^{\text{open}}/ZR^{\text{open}} $ 之间的庞加莱对偶同构。
• 通过分解和正则序列，给出了霍斯特尔定理的初等证明，即有理多面锥的半群环是科 Hen-Macaulay 的。