[论文解读] String Diagram Rewrite Theory III: Confluence with and without Frobenius

Filippo Bonchi, Fabio Gadducci+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2021

Logic, programming, and type systems被引用 5

一句话总结

该论文证明了在使用接口的双推导重写（DPOI）系统中，字符串图重写系统的合流性是可判定的，其核心在于临界对分析。论文证明，终止的DPOI系统是合流的，当且仅当所有临界对均可合并，从而将Knuth-Bendix性质推广至超图重写。主要贡献在于，通过在非Frobenius情形下使用凸匹配的路径可合并性，为具有或不具有Frobenius结构的对称半单理论（SMT）提供了合流性的可判定准则。

ABSTRACT

In this paper we address the problem of proving confluence for string diagram rewriting, which was previously shown to be characterised combinatorically as double-pushout rewriting with interfaces (DPOI) on (labelled) hypergraphs. For standard DPO rewriting without interfaces, confluence for terminating rewrite systems is, in general, undecidable. Nevertheless, we show here that confluence for DPOI, and hence string diagram rewriting, is decidable. We apply this result to give effective procedures for deciding local confluence of symmetric monoidal theories with and without Frobenius structure by critical pair analysis. For the latter, we introduce the new notion of path joinability for critical pairs, which enables finitely many joins of a critical pair to be lifted to an arbitrary context in spite of the strong non-local constraints placed on rewriting in a generic symmetric monoidal theory.

研究动机与目标

• 建立基于超图上DPOI重写的字符串图重写系统的合流性可判定性。
• 解决对称半单理论（SMT）中合流性的问题，特别是那些缺乏Frobenius结构、标准临界对分析失效的情形。
• 引入路径可合并性机制，以在凸DPOI重写中将临界对的有限合并推广至任意上下文。
• 通过将合流性验证归约为有限临界对分析，提供一种实用且可自动化的SMT合流性验证程序。

提出的方法

• 将字符串图形式化为带接口的（标记）超图，使用带接口的双推导重写（DPOI）以保持组合性。
• 证明终止的DPOI系统的合流性可通过验证所有临界对的可合并性来判定，从而将Knuth-Bendix性质推广至该设定。
• 引入路径可合并性的概念，以处理凸DPOI重写中的非局部效应，特别是在非Frobenius SMT中。
• 开发一种计算最大路径关系并构造路径扩展的算法，以验证临界对的可合并性。
• 将该框架应用于具体示例，包括双代数系统和NLC系统，以展示实际的合流性验证能力。
• 将结果编码为与Quantomatic等工具及基于超图的重写系统兼容的计算流水线。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于通过超图上DPOI重写形式化的终止字符串图重写系统，其合流性是否可判定？
• RQ2 临界对分析如何适应非Frobenius对称半单理论中凸匹配的非局部约束？
• RQ3 路径可合并性是否能提供一种有限且有效的方法，用于验证标准临界对不足时的凸DPOI系统中的合流性？
• RQ4 Frobenius结构的存在或缺失在多大程度上影响合流性检查的可判定性与自动化程度？
• RQ5 所提出的方法是否可集成到现有字符串图工具中，以支持等式理论的自动化合流性验证？

主要发现

• 终止的DPOI重写系统的合流性是可判定的，该结果将Knuth-Bendix性质推广至带接口的超图重写。
• 对于具有Frobenius结构的对称半单理论，可通过检查有限个临界对的标准可合并性来判定合流性。
• 在非Frobenius SMT中，若使用路径可合并性处理非局部效应，合流性可通过凸DPOI重写判定。
• 本文引入路径可合并性作为新机制，使凸重写中临界对的有限合并可推广至任意上下文。
• 计算路径扩展的算法是可计算的，可实现自动化，如NLC示例（含22个临界对）所示。
• 该框架适用于广泛的SMT，包括[37, 28, 24]中的系统，并可轻松集成至Quantomatic等工具中。