[论文解读] String Duality and Enumeration of Curves by Jacobi Forms

Toshiya Kawai|ArXiv.org|Apr 2, 1998

Advanced Algebra and Geometry参考文献 46被引用 12

一句话总结

本文提出了一种方法，利用近乎全纯的Weyl不变雅可比形式，计算具有K3纤维和椭圆纤维结构的卡拉比-丘三fold的亏格0和1 Gromov-Witten势。通过利用椭圆多对数函数和theta对应，推导出在大基底面积极限下的渐近表达式，将其与微扰预势联系起来，并揭示了与Eisenstein-Kronecker级数及Zagier的实椭圆多对数函数之间的联系。

ABSTRACT

For a Calabi-Yau threefold admitting both a $K3$ fibration and an elliptic fibration (with some extra conditions) we discuss candidate asymptotic expressions of the genus 0 and 1 Gromov-Witten potentials in the limit (possibly corresponding to the perturbative regime of a heterotic string) where the area of the base of the $K3$ fibration is very large. The expressions are constructed by lifting procedures using nearly holomorphic Weyl-invariant Jacobi forms. The method we use is similar to the one introduced by Borcherds for the constructions of automorphic forms on type IV domains as infinite products and employs in an essential way the elliptic polylogarithms of Beilinson and Levin. In particular, if we take a further limit where the base of the elliptic fibration decompactifies, the Gromov-Witten potentials are expressed simply by these elliptic polylogarithms. The theta correspondence considered by Harvey and Moore which they used to extract the expression for the perturbative prepotential is closely related to the Eisenstein-Kronecker double series and hence the real versions of elliptic polylogarithms introduced by Zagier.

研究动机与目标

• 在K3纤维化卡拉比-丘三fold的大基底面积极限下，推导亏格0和1 Gromov-Witten势的渐近表达式。
• 通过由雅可比形式构造的自动形式，建立弦对偶性与曲线计数之间的联系。
• 利用椭圆多对数函数与theta对应，在异规弦理论区域恢复微扰预势。
• 在去紧化极限下，将所得势与Eisenstein-Kronecker双级数及Zagier的实椭圆多对数函数联系起来。

提出的方法

• 基于近乎全纯的Weyl不变雅可比形式的提升过程，构造Gromov-Witten势。
• 应用Harvey和Moore的theta对应，提取微扰预势贡献。
• 将Beilinson和Levin的椭圆多对数函数作为构造的核心组成部分。
• 利用Borcherds的自守形式方法（在IV型域上表示为无限乘积）。
• 引入大基底面积极限，以进入异规弦紧化模型的微扰区域。
• 对椭圆纤维基底进一步施加去紧化极限，将势简化为纯椭圆多对数函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地计算具有对偶纤维结构的卡拉比-丘三fold的亏格0和1 Gromov-Witten不变量？
• RQ2 雅可比形式及其提升在弦对偶性中如何编码曲线计数数据？
• RQ3 椭圆多对数函数与异规弦理论中微扰预势之间有何关系？
• RQ4 椭圆纤维基底的去紧化极限如何简化Gromov-Witten势？
• RQ5 在此背景下，theta对应与Eisenstein-Kronecker级数之间的确切联系是什么？

主要发现

• 在大基底面积极限下，亏格0和1 Gromov-Witten势通过近乎全纯的Weyl不变雅可比形式实现渐近表达。
• 通过theta对应恢复了微扰预势，其被证明等价于Eisenstein-Kronecker双级数。
• 在椭圆纤维基底的去紧化极限下，Gromov-Witten势精确简化为椭圆多对数函数。
• 该构造揭示了弦对偶性、自守形式与Zagier的实椭圆多对数函数等特殊函数之间的深层联系。
• 该方法为利用模形式与算术结构，在对偶卡拉比-丘紧化中提供了一体化的曲线计数框架。