[论文解读] String/Quantum Gravity motivated Uncertainty Relations and Regularisation in Field Theory

Achim Kempf|ArXiv.org|Dec 8, 1996

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 4

一句话总结

本文提出了一种广义量子几何框架，其不确定性关系基于弦理论和量子引力的启发，引入了位置和动量分辨率的有限下限 Δx₀ 和 Δp₀。这些下限通过路径积分表述在量子场论中自然诱导出紫外和红外正则化，无需显式截断或反项，从而抑制高能和长波长发散。

ABSTRACT

The possibility of the existence of small correction terms to the canonical commutation relations and the uncertainty relations has recently found renewed interest. In particular, such correction terms could induce finite lower bounds $Δx_0, Δp_0$ to the resolution of distances and/or momenta. I review a general framework for the path integral formulation of quantum field theories on such generalised geometries, and focus then on the mechanisms by which $Δp_0>0$, and/or $Δx_0>0$ lead to IR and/or UV regularisation.

研究动机与目标

• 研究暗示位置和动量分辨率存在有限下限 Δx₀ 和 Δp₀ 的修正对易关系的物理含义。
• 为具有此类修正不确定性关系的广义几何上的量子场论建立路径积分表述。
• 探讨 Δx₀ > 0 和 Δp₀ > 0 如何作为量子场论中紫外和红外发散的内在调节器。
• 建立一个框架，使量子引力效应自然抑制发散，而无需引入外部截断或反项。
• 将非对易和形变的量子力学结构与场论中的正则化机制联系起来。

提出的方法

• 为具有修正正则对易关系的广义几何上的量子场论制定路径积分方法。
• 将最小长度尺度 Δx₀ > 0 和最小动量尺度 Δp₀ > 0 作为形变不确定性关系的后果引入。
• 应用广义不确定性原理（GUP）框架，在路径积分形式中推导修正的动量和位置算符。
• 证明 Δx₀ > 0 的存在可抑制高动量（紫外）模式，而 Δp₀ > 0 可抑制低动量（红外）模式。
• 利用路径积分中的修正测度，自然正则化动量空间和位置空间中的发散积分。
• 表明形变参数 Δx₀ 和 Δp₀ 作为内在调节器，取代了场论计算中的传统截断。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有限下限 Δx₀ 和 Δp₀ 的修正不确定性关系如何影响量子场论的结构？
• RQ2 在对易关系中存在 Δx₀ > 0 和 Δp₀ > 0 是否能导致自然的紫外和红外正则化？
• RQ3 广义不确定性原理在修正量子场论路径积分表述中起什么作用？
• RQ4 形变参数 Δx₀ 和 Δp₀ 如何取代或消除场论中显式截断的需要？
• RQ5 此类形变几何对量子场论中的重整化程序有何影响？

主要发现

• 存在最小长度尺度 Δx₀ > 0 可通过抑制路径积分中的高动量模式，实现内在紫外正则化。
• 存在最小动量尺度 Δp₀ > 0 可通过抑制长波长模式，实现内在红外正则化。
• 修正的对易关系导致动量和位置算符的形变，改变路径积分中的测度，从而产生有限积分。
• 该框架提供了一种自然的正则化机制，无需显式截断或反项。
• 正则化与量子引力和弦理论的原理一致，表明时空结构与场论发散之间存在深层联系。
• 在形变几何上的路径积分表述可对原本发散的场论振幅给出有限结果，证明了该方法的可行性。