[论文解读] String Reconstruction from Substring Compositions

Jayadev Acharya, Hirakendu Das+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2014

Algorithms and Data Compression参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文研究了从子串构成的多重集（Parikh向量）重构二进制字符串的问题，表明所有长度为7、比素数小1或比两倍素数小1的字符串均可唯一重构（至多反转）。通过基于双变量多项式因式分解的代数技术，作者刻画了等构字符串的特性，并建立了混淆字符串数量的紧致界，从而解决了组合学中回路问题的简化版本。

ABSTRACT

Motivated by mass-spectrometry protein sequencing, we consider a simply-stated problem of reconstructing a string from the multiset of its substring compositions. We show that all strings of length 7, one less than a prime, or one less than twice a prime, can be reconstructed uniquely up to reversal. For all other lengths we show that reconstruction is not always possible and provide sometimes-tight bounds on the largest number of strings with given substring compositions. The lower bounds are derived by combinatorial arguments and the upper bounds by algebraic considerations that precisely characterize the set of strings with the same substring compositions in terms of the factorization of bivariate polynomials. The problem can be viewed as a combinatorial simplification of the turnpike problem, and its solution may shed light on this long-standing problem as well. Using well known results on transience of multi-dimensional random walks, we also provide a reconstruction algorithm that reconstructs random strings over alphabets of size $\ge4$ in optimal near-quadratic time.

研究动机与目标

• 研究在何种条件下字符串可从其子串构成的多重集中唯一重构。
• 刻画何时两个字符串为等构字符串（即具有相同的子串构成多重集）。
• 确定可共享相同子串构成多重集的字符串的最大数量，特别是针对先前构造未覆盖的长度。
• 开发利用组合与概率方法的高效算法，用于重构随机字符串。
• 探索该问题与组合学中长期存在的回路问题之间的联系。

提出的方法

• 将字符串表示为双变量生成多项式，以代数方式建模子串构成。
• 使用多项式因式分解刻画等构字符串，表明它们对应于同一多项式的因式分解。
• 应用分圆多项式与代数数论，推导混淆字符串数量的上界。
• 利用交错字符串的组合构造，生成等构字符串数量的下界。
• 利用多维随机游动瞬态性的结果，设计针对大小≥4字母表的随机字符串的近似最优重构算法。
• 将字符串重构问题简化为总长度为O(n²)的类似回路问题，从而实现多项式时间解法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些字符串长度下，从子串构成的多重集中唯一重构（至多反转）总是可能？
• RQ2 可共享相同子串构成多重集的互不相同字符串的最大数量是多少？
• RQ3 是否可使用多项式因式分解等代数方法完全刻画所有混淆字符串？
• RQ4 生成多项式的结构如何与字符串的组合性质相关联？
• RQ5 能否设计出利用问题代数结构的高效重构算法？

主要发现

• 所有长度为7、比素数小1或比两倍素数小1的字符串均可唯一重构（至多反转）。
• 利用分圆多项式对等构字符串的最大数量进行了紧致界定，当下界在长度为比素数幂小1或比两倍素数幂小1时达到紧致性。
• 通过交错字符串构造，可得到(n+1)log₃2个互不相同的n位等构字符串。
• 对于大小≥4的字母表中的随机字符串，回溯算法以高概率在近二次时间内重构出正确字符串（至多反转）。
• 对于大小为3的字母表，解集的期望长度有界于O(log n)，且算法以概率≥1−δ在O(n^(0.6/δ))时间内运行。
• 该问题为回路问题的组合简化版本，其解法为原问题提供了结构洞见。