[论文解读] String topology of classifying spaces

David Chataur, Luc Menichi|ArXiv.org|Dec 31, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 40被引用 10

一句话总结

该论文证明，对于有限群或紧致连通李群，其分类空间 $BG$ 的自由循环空间的奇异同调，在域上取系数时，构成一个同调共形场论。它通过与 $G$ 的奇异链的 Hochschild 上同调的代数同构，证明了上同调 $H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ 具有 Batalin-Vilkovisky 代数结构，并利用 Umkehr 映射和范畴（props）构造了场论操作。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group or a compact connected Lie group and let $BG$ be its classifying space. Let $\mathcal{L}BG:=map(S^1,BG)$ be the free loop space of $BG$ i.e. the space of continuous maps from the circle $S^1$ to $BG$. The purpose of this paper is to study the singular homology $H_*(\mathcal LBG)$ of this loop space. We prove that when taken with coefficients in a field the homology of $\mathcal LBG$ is a homological conformal field theory. As a byproduct of our main theorem, we get a Batalin-Vilkovisky algebra structure on the cohomology $H^*(\mathcal LBG)$. We also prove an algebraic version of this result by showing that the Hochschild cohomology $HH^*(S_* (G),S_*(G))$ of the singular chains of $G$ is a Batalin-Vilkovisky algebra.

研究动机与目标

• 建立有限群与紧致李群的自由循环空间 $\mathcal{L}BG$ 的同调上的场论结构。
• 证明 $H_*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ 是一个在域 $\mathbb{F}$ 上的同调共形场论，将弦拓扑推广至分类空间。
• 证明上同调 $H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ 通过与 Hochschild 上同调的同构，具有 Batalin-Vilkovisky 代数结构。
• 利用 Umkehr 映射和映射空间的定向类，构造 $H_*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ 上的范畴作用。
• 通过代数拓扑工具（如 Hochschild 上同调与范畴）将弦拓扑操作推广至分类空间。

提出的方法

• 使用 Umkehr 映射（有限群为转移映射，李群为沿纤维积分）在 $\mathcal{L}BG$ 上定义弦拓扑操作。
• 应用 Segal 的黎曼曲面范畴及其相关范畴，以建模拓扑场论结构。
• 利用 Kunneth 同构与同伦等价 $f: F/\partial_{\text{in}} \to \vee_{-\chi(F)} S^1$，构造 $H_{-d\chi(F)}(\text{map}_*(F/\partial_{\text{in}}, X); \mathbb{F})$ 中的典范生成元 $w_f$。
• 定义一个与同伦等价选择无关的定向态射 $Or(F): \text{det}H_1(F, \partial_{\text{in}}; \mathbb{Z})^{\otimes d} \to H_{-d\chi(F)}(\text{map}_*(F/\partial_{\text{in}}, X); \mathbb{F})$。
• 证明由此产生的结构使得 $H_*(\mathcal{L}X; \mathbb{F})$ 通过范畴的态射成为一个 $d$-维非单位、非余单位的共形场论。
• 通过 Burghelea-Federer 与 Goodwillie 的已知结果，建立 $H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ 与 $HH^*(S_*(G), S_*(G))$ 之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有限群或紧致李群，分类空间 $BG$ 的自由循环空间同调 $H_*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ 是否具有同调共形场论结构？
• RQ2 能否通过弦拓扑操作几何实现 $H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ 上的 Batalin-Vilkovisky 代数结构？
• RQ3 Umkehr 映射与映射空间的定向类如何贡献于 $\mathcal{L}BG$ 上的场论操作的构造？
• RQ4 在通过同伦等价构造生成元时，$H_*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ 上的范畴作用是否独立于选择？
• RQ5 $H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ 与 Hochschild 上同调 $HH^*(S_*(G), S_*(G))$ 之间的精确关系是什么？

主要发现

• 对于在域 $\mathbb{F}$ 上具有有限维同调的有限群与紧致连通李群，奇异同调 $H_*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ 构成一个同调共形场论。
• 上同调 $H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ 具有 Batalin-Vilkovisky 代数结构，此结果通过与 $HH^*(S_*(G), S_*(G))$ 的同构得到证明。
• 定向态射 $Or(F)$ 与同伦等价 $f: F/\partial_{\text{in}} \to \vee_{-\chi(F)} S^1$ 的选择无关，确保了场论构造的一致性。
• 在 $H_{-d\chi(F)}(\text{map}_*(F/\partial_{\text{in}}, X); \mathbb{F})$ 中构造的生成元 $w_f$ 在同伦等价改变时，其变换为行列式的 $d$ 次幂，从而保持场论结构不变。
• 同调 $H_*(\mathcal{L}X; \mathbb{F})$ 是范畴张量积 $\text{det}H_1(F, \partial_{\text{in}}; \mathbb{Z})^{\otimes d} \otimes H_*(BDiff^+(F, \partial))$ 上的代数，确认了其为 $d$-维共形场论结构。
• 主要结果可推广至任意连通拓扑群，只要其 $H_*(G; \mathbb{F})$ 有限维，从而推广了原始结果中对紧致李群的结论。