[论文解读] String topology of Poincare duality groups

Hossein Abbaspour, Ralph L. Cohen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文在 Poincaré 对偶性群的中心化子的分次同调上，通过交集理论构造了一个代数式的弦拓扑乘积，定义了 LG = ⊕[G] H*+n(Cg) 上的分次、结合、交换代数结构。该构造利用 Poincaré 对偶性与双陪集分解，通过中心化子子群中的交集配对来定义乘积，并证明当 G 是一个闭的、可定向的、n 维的双曲流形的基本群时，该乘积恰好对应于自由环路空间同调 H*(LM) 上的 Chas-Sullivan 环路乘积。

ABSTRACT

Let G be a Poincare duality group of dimension n. For a given element g in G, let C_g denote its centralizer subgroup. Let L_G be the graded abelian group defined by (L_G)_p = oplus_{[g]}H_{p+n}(C_g) where the sum is taken over conjugacy classes of elements in G. In this paper we construct a multiplication on L_G directly in terms of intersection products on the centralizers. This multiplication makes L_G a graded, associative, commutative algebra. When G is the fundamental group of an aspherical, closed oriented n manifold M, then (L_G)_* = H_{*+n}(LM), where LM is the free loop space of M. We show that the product on L_G corresponds to the string topology loop product on H_*(LM) defined by Chas and Sullivan.

研究动机与目标

• 本文旨在不依赖微分拓扑学，纯代数地为 Poincaré 对偶性群定义弦拓扑乘积代数结构。
• 旨在将 Chas-Sullivan 的环路乘积构造从流形推广到 Poincaré 对偶性群的纯粹群论设定中。
• 目标是通过中心化子中的交集配对，建立一个直接的、同调理论的乘积构造。
• 旨在证明当群 G 是一个双曲、闭、可定向 n-流形的基本群时，该代数乘积与几何弦拓扑乘积相对应。
• 目标是为弦拓扑代数提供一个基于群结构内在的同调模型。

提出的方法

• 该构造通过 Poincaré 对偶性定义交集配对：对子群 K, H < G，配对 Hp(K; Z) ⊕ Hq(H; Z) 到 ⊕[g] Hp+q-n(K ∩ gHg^{-1})。
• 该配对通过群上同调中的上积构造，经 Poincaré 对偶性对偶化，并与双陪集公式中的 G-模同构复合。
• 对中心化子 Cα 和 Cβ，乘积定义为 μ = j* ∘ ∩: Hp+n(Cα) ⊕ Hq+n(Cβ) → ⊕g H*+n(Cα ∩ gCβg^{-1})。
• 映射 j* 由包含映射 Cα ∩ gCβg^{-1} → Cαgβg^{-1} 诱导，该映射将交集识别为乘积元素的共轭。
• 通过直接验证定义并利用双陪集和上的 G-等变对合，证明该乘积是结合、交换且有单位的。
• 通过在万有覆盖上比较代数构造与几何 umkehr 映射（利用 Pontrjagin-Thom 构造），建立了与 Chas-Sullivan 乘积的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 Poincaré 对偶性群的群同调中，完全代数地定义弦拓扑环路乘积？
• RQ2 在该乘积下，中心化子的分次同调 LG = ⊕[G] H*+n(Cg) 的精确代数结构是什么？
• RQ3 当 G 是一个双曲、闭、可定向 n-流形的基本群时，该代数乘积是否与几何 Chas-Sullivan 环路乘积相对应？
• RQ4 中心化子中的交集配对与自由环路空间中环路的几何交集之间有何关系？
• RQ5 是否能仅通过群上同调与 Poincaré 对偶性，无需微分拓扑学，重构弦拓扑乘积？

主要发现

• 本文通过中心化子中的交集配对，成功构造了一个定义良好、分次、结合、交换的代数结构于 LG = ⊕[G] H*+n(Cg) 上。
• 该乘积通过 Poincaré 对偶性、上积与双陪集同构的复合构造，得到一个映射到共轭中心化子交集的同调的映射。
• 通过双陪集和上的 G-等变对合，证明该乘积在符号 (−1)^pq 意义下交换。
• 该代数的单位由基本类 z ∈ Hn(G) ⊂ (LG)0 给出。
• 当 G = ̀π1(M) 且 M 是一个双曲、闭、可定向的 n-流形时，代数 (LG)* 通过重分次同构于 H*(LM)。
• 主要结果（定理 6）表明，(LG)* 上的代数乘积 μ 恰好对应于 H*(LM) 上的 Chas-Sullivan 环路乘积，如涉及 umkehr 映射与 Thom 同构的相应交换图所示。