[论文解读] Strings and matrix models on genus g Riemann Surfaces

Itzhak Bars|ArXiv.org|Jun 25, 1997

Geometric and Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文建立了离散保面积微分同胚、约化 SU(N) Yang-Mills 理论、弦理论以及亏格 g 黎曼曲面上的量子霍尔效应之间的联系。它提出了在亏格 g 黎曼曲面上的弦的矩阵模型描述，表明这些曲面上保面积映射的动力学等价于一个大 N 矩阵模型，对拓扑弦理论和量子霍尔系统具有重要意义。

ABSTRACT

This is a summary of old work on connections between discrete area preserving diffeomorphisms, reduced SU(N) Yang-Mills, strings, and the quantum Hall effect on a Riemann surface of genus g. It is submitted to the archives due to the interest expressed by colleagues who are currently working on matrix models, and who could not have access to the proceedings in which the article was published. The text that follows is the version published in 1991.

研究动机与目标

• 建立一个统一框架，连接离散保面积微分同胚、约化 SU(N) Yang-Mills 理论以及亏格 g 黎曼曲面上的弦理论。
• 证明亏格 g 曲面上保面积映射的动力学可由矩阵模型描述，从而扩展几何与规范理论之间的联系。
• 探讨该形式化对拓扑弦理论以及高亏格黎曼曲面上量子霍尔效应的启示。
• 提供原始发表于会议论文集中的基础性工作的自包含且易于理解的版本，确保在矩阵模型与弦理论研究者中的广泛传播。

提出的方法

• 提出一个矩阵模型作用量，以捕捉亏格 g 黎曼曲面上保面积微分同胚的动力学。
• 利用约化 SU(N) Yang-Mills 理论作为曲面上保面积映射代数的规范场论实现。
• 应用拓扑场论与矩阵模型的技术，描述高亏格黎曼曲面上的弦传播。
• 依赖大 N 极限，从离散矩阵模型中恢复连续弦理论。
• 建立亏格 g 曲面上平坦联络模空间与矩阵模型中解空间之间的对应关系。
• 利用保面积映射的代数结构，为任意亏格的黎曼曲面上的弦理论提供非微扰形式化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用矩阵模型描述亏格 g 黎曼曲面上的保面积微分同胚？
• RQ2 约化 SU(N) Yang-Mills 理论在亏格 g 曲面上与弦理论之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否通过此矩阵模型形式化理解高亏格黎曼曲面上的量子霍尔效应？
• RQ4 该矩阵模型的大 N 极限如何再现黎曼曲面上连续弦动力学？
• RQ5 黎曼曲面的拓扑结构（亏格 g）在矩阵模型结构及其物理解释中起什么作用？

主要发现

• 亏格 g 黎曼曲面上保面积微分同胚的动力学等价于一个大 N 矩阵模型，为这类曲面上的弦理论提供了非微扰形式化。
• 在亏格 g 曲面上的约化 SU(N) Yang-Mills 理论与矩阵模型再现了相同的物理内容，将规范理论与高亏格流形上的弦理论联系起来。
• 该矩阵模型捕捉了黎曼曲面的拓扑与几何结构，其中亏格 g 自然地出现在模型的模空间中。
• 该形式化为高亏格曲面上的量子霍尔效应提供了新视角，其中不可压缩流体由相同的矩阵模型描述。
• 通过大 N 极限，矩阵模型与亏格 g 曲面上的弦理论之间的等价性得以确立，此时离散映射动力学转化为连续弦传播。
• 本文证实，亏格 g 黎曼曲面上保面积映射的底层代数结构同构于大 N 矩阵的代数结构，从而实现了规范理论、弦理论与拓扑场论的统一描述。