[论文解读] Strings from dynamical noncommutative space-time

Andreas Fring, Laure Gouba+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2010

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 7

一句话总结

本文提出了一类二维空间中位置依赖的非对易时空关系的新类别，引入了通过Dyson映射和新度量张量使物理化的非厄米变量。它从广义不确定度关系推导出最小长度和动量尺度，表明此空间中所有物体本质上具有弦状特征，存在不可约的长度尺度，并在此框架下构建并求解了自由粒子和谐振子等模型。

ABSTRACT

We introduce a new set of noncommutative space-time commutation relations in two space dimensions. The space-space commutation relations are deformations of the standard flat noncommutative space-time relations taken here to have position dependent structure constants. Some of the new variables are non-Hermitian in the most natural choice. We construct their Hermitian counterparts by means of a Dyson map, which also serves to introduce a new metric operator. We propose PTlike symmetries, i.e.antilinear involutory maps, respected by these deformations. We compute minimal lengths and momenta arising in this space from generalized versions of Heisenberg's uncertainty relations and find that any object in this two dimensional space is string like, i.e.having a fundamental length in one direction beyond which a resolution is impossible. Subsequently we formulate and partly solve some simple models in these new variables, the free particle, its PT-symmetric deformations and the harmonic oscillator.

研究动机与目标

• 开发一类具有位置依赖结构常数的非对易时空对易关系的新类别。
• 通过Dyson映射构造其厄米对应量，解决非对易场论中非厄米变量的问题。
• 定义并实现在所提出的非对易变形下保持不变的PT型对称性。
• 从新框架中的广义不确定度关系推导出最小长度和动量尺度。
• 在该非对易结构中制定并求解简单的量子力学模型——自由粒子、PT对称变形和谐振子。

提出的方法

• 在二维空间中引入具有位置依赖结构常数的非对易时空对易关系。
• 在自然量子化方案中识别非厄米变量，并应用Dyson映射构造其厄米对应量。
• 通过Dyson映射定义新的度量算符，为希尔伯特空间提供一致的内积结构。
• 将PT型对称性定义为保持变形时空代数结构的反线性对合映射。
• 从包含位置依赖非对易性的广义海森堡不确定关系推导，以计算最小长度和动量尺度。
• 在新非对易变量中制定并求解量子力学模型（自由粒子、PT对称变形、谐振子）。

实验结果

研究问题

• RQ1 位置依赖的结构常数在非对易时空中的量子力学中具有何种含义？
• RQ2 如何通过Dyson映射和度量算符使非对易理论中的非厄米变量具有物理意义？
• RQ3 在此变形时空中，广义不确定度关系会产生何种最小长度和动量尺度？
• RQ4 PT型对称性如何约束或保持非对易代数的结构？
• RQ5 标准量子模型如谐振子在该新非对易框架中能在多大程度上被一致地表述？

主要发现

• 非对易时空关系导致某一空间方向存在根本性的最小长度，意味着低于该尺度的空间分辨率是不可能的。
• 由于存在这一不可约长度尺度，此二维空间中所有物理物体本质上都是弦状的。
• Dyson映射成功地将非厄米变量转化为厄米变量，从而实现了量子力学解释的一致性。
• 广义不确定度关系给出了最小动量和长度的显式表达式，表明存在空间分辨率的下限。
• 自由粒子和谐振子模型在新变量中被一致地表述，其解部分已推导出。
• 识别出PT型对称性为在非对易变形下保持不变的对称性，确保了稳定性和物理一致性。