[论文解读] Stringy invariants for horospherical varieties of complexity one

Kevin Langlois, Clélia Pech+1 more|Kent Academic Repository (University of Kent)|Nov 12, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用 9

一句话总结

该论文利用其组合数据，计算了具有对数终端奇点的 ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein 水平对称变体在复杂度为一情形下的弦式动机体积。论文给出了关于多面体除子和着色扇形的显式公式，建立了动机体积的有理形式，并通过比较弦式与通常的欧拉示性数证明了一个光滑性判别准则。

ABSTRACT

In this paper we determine the stringy motivic volume of log terminal horospherical $G$-varieties of complexity one, where $G$ is a connected reductive linear algebraic group. The stringy motivic volume of a log terminal variety is an invariant of singularities which was introduced by Batyrev and plays an important role in mirror symmetry for Calabi--Yau varieties. A horospherical $G$-variety of complexity one is a normal $G$-variety which is equivariantly birational to a product $C imes G/H$, where $C$ is a smooth projective curve and the closed subgroup $H$ contains a maximal unipotent subgroup of $G$. The simplest example of such a variety is a normal surface with a non-trivial $\mathbb{C}^{\star}$-action. Our formula extends the results of Batyrev--Moreau [BM13] on stringy invariants of horospherical embeddings. The proof involves the study of the arc space of a horospherical variety of complexity one and a combinatorial description of its orbits. In contrast to [BM13], the number of orbits is no longer countable, which adds significant difficulties to the problem. As a corollary of our main theorem, we obtain a smoothness criterion using a comparison of the stringy and usual Euler characteristics.

研究动机与目标

• 确定具有对数终端奇点的复杂度为一的对数终端水平对称变体的弦式动机体积。
• 基于通过着色多面体除子的组合描述，为弦式不变量提供显式公式。
• 建立弦式动机体积的有理形式，并通过凸几何方法识别一组有限的候选极点。
• 在附加假设下，将光滑性判别准则重新表述为弦式欧拉示性数的形式。
• 利用动机积分技术，推广并改进现有关于球对称变体的光滑性判别准则。

提出的方法

• 利用动机积分，将弦式动机体积定义为在对数解析的弧空间上的积分。
• 基于 Battyrev 的框架，应用与解析选择无关的动机体积的有理形式。
• 利用凸几何分析多面体除子及其相关着色锥，特别关注 $\sigma$-多面体除子的结构。
• 通过涉及曲线上点、多面体除子的面和颜色集合的三元组，参数化 $G$-轨道（包括水平和垂直轨道）。
• 利用 Weyl 群和稳定子子群的作用，通过轨道分解计算欧拉示性数。
• 通过比较弦式欧拉示性数 $e_{st}(X)$ 与通常的欧拉示性数 $e(X)$，推导出光滑性判别准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有对数终端奇点的 ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein 水平对称变体在复杂度为一的情形下，其弦式动机体积的显式公式是什么？
• RQ2 如何利用着色除子扇形的组合数据，将弦式动机体积表示为有理形式？
• RQ3 弦式动机体积的候选极点集合是什么？如何通过凸几何方法显式描述这些极点？
• RQ4 在何种条件下，等式 $e_{st}(X) = e(X)$ 蕴含该变体的光滑性？
• RQ5 是否可以将水平对称变体的光滑性判别准则重新表述为弦式不变量的形式？

主要发现

• 具有对数终端奇点的 ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein 水平对称变体在复杂度为一的情形下，其弦式动机体积由其着色多面体除子及关联的组合数据给出显式公式。
• 弦式动机体积具有有理形式，其极点位于由多面体除子的凸几何导出的有限且显式描述的集合中。
• 通过轨道分解计算变体的欧拉示性数，其中水平和垂直 $G$-轨道的贡献由面和颜色参数化。
• 利用 $G/H \times \mathbb{C}^*$ 的局部因子化 $G$-等变紧化，证明了等式 $\frac{|W|}{|W_{I_{\mathcal{F}}}|} = \sum_{v \in \Delta_y} \frac{|W|}{|W_{I_{\mathcal{F}_{\{v\}}}}|}$。
• 在局部因子化和全维 Cayley 锥的假设下，当 $2 - 2g - |C \setminus C_0| \neq 0$ 时，变体光滑当且仅当 $e_{st}(X) = e(X)$。
• 光滑性判别准则被重新表述为弦式欧拉示性数的形式，将先前关于 toric 变体的结果推广至复杂度为一的水平对称变体。