[论文解读] Strong and weak (1, 3) homotopies on knot Projections

Noboru Ιτο, Yusuke Takimura+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文通过首次平坦 Reidemeister 移动以及第三种平坦 Reidemeister 移动的两种变体，引入了纽结投影上的强 (1,3) 同伦与弱 (1,3) 同伦。定义了交叉弦数作为强 (1,3) 同伦不变量，并证明了 Hanaki 的消去数是弱 (1,3) 不变量，完全分类了消去数为二的纽结投影，并确定了平凡纽结投影的强 (1,3) 同伦类。

ABSTRACT

Strong and weak (1, 3) homotopies are equivalence relations on knot projections, defined by the first flat Reidemeister move and each of two different types of the third flat Reidemeister moves. In this paper, we introduce the cross chord number that is the minimal number of double points of chords of a chord diagram. Cross chord numbers induce a strong (1, 3) invariant. We show that Hanaki's trivializing number is a weak (1, 3) invariant. We give a complete classification of knot projections having trivializing number two up to the first flat Reidemeister moves using cross chord numbers and the positive resolutions of double points. Two knot projections with trivializing number two are both weak (1, 3) homotopy equivalent and strong (1, 3) homotopy equivalent if and only if they can be related by only the first flat Reidemeister moves. Finally, we determine the strong (1, 3) homotopy equivalence class containing the trivial knot projection and other classes of knot projections.

研究动机与目标

• 通过平坦 Reidemeister 移动定义并分析纽结投影上的强与弱 (1,3) 同伦。
• 引入交叉弦数作为强 (1,3) 同伦不变量。
• 证明 Hanaki 的消去数是弱 (1,3) 同伦不变量。
• 在强与弱 (1,3) 同伦下，对所有消去数为二的纽结投影进行完全分类。
• 确定平凡纽结投影的强 (1,3) 同伦等价类及其他类。

提出的方法

• 通过首次平坦 Reidemeister 移动和第三种平坦 Reidemeister 移动的两种不同版本，定义强与弱 (1,3) 同伦。
• 引入交叉弦数作为弦图中双点数的最小值，确立其为强 (1,3) 同伦不变量。
• 利用双点的正向解析与弦图分析，对消去数为二的投影进行分类。
• 通过圆盘分解与局部构型的归纳论证，证明某些移动序列的不存在性。
• 利用消去数与交叉弦数区分同伦类。
• 通过显式构造与同伦论证，验证等价类，包括平凡纽结投影。

实验结果

研究问题

• RQ1 包含平凡纽结投影的强 (1,3) 同伦等价类具有怎样的结构？
• RQ2 强与弱 (1,3) 同伦关系在分类纽结投影时有何不同？
• RQ3 能否在强与弱 (1,3) 同伦下对消去数为二的纽结投影进行完全分类？
• RQ4 交叉弦数是否是强 (1,3) 同伦等价的完备不变量？
• RQ5 消去数与弱 (1,3) 同伦等价之间存在何种关系？

主要发现

• 交叉弦数是强 (1,3) 同伦不变量，为在该等价关系下区分纽结投影提供了新工具。
• Hanaki 的消去数是弱 (1,3) 同伦不变量，将一个已知不变量与新的同伦框架联系起来。
• 两个消去数为二的纽结投影当且仅当仅通过首次平坦 Reidemeister 移动相互关联时，才在弱与强 (1,3) 同伦下等价。
• 平凡纽结投影的强 (1,3) 同伦类被完全确定，且仅包含可通过首次与第三次平坦移动约化为平凡纽结的投影。
• 提供了消去点数不超过七个的约化本原纽结投影的分类，列出了其消去数与交叉弦数，并展示了明确的同伦连接。
• 证明了 $7_4$ 与 $7_B$ 在强 (1,3) 同伦下等价，其依据是一个具有八个双点的本原纽结投影。