[论文解读] Strong and weak convergence for averaging principle of DDSDE with singular drift

Mengyu Cheng, Zimo Hao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

本文在局部 $L^p$ 空间中建立了具有奇异漂移的分布依赖随机微分方程（DDSDEs）的强收敛与弱收敛。通过使用Zvonkin变换和Kolmogorov方程的热核估计，作者证明了当时间尺度 $varepsilon \to 0$ 时，原始快慢系统解收敛于平均化系统，且收敛速率明确依赖于 $p$。关键贡献在于在漂移项的正则性假设最小的条件下，推导出定量的收敛速率。

ABSTRACT

In this paper, we study the averaging principle for distribution dependent stochastic differential equations with drift in localized $L^p$ spaces. Using Zvonkin's transformation and estimates for solutions to Kolmogorov equations, we prove that the solutions of the original system strongly and weakly converge to the solution of the averaged system as the time scale $\eps$ goes to zero. Moreover, we obtain rates of the strong and weak convergence that depend on $p$ respectively.

研究动机与目标

• 在局部 $L^p$ 空间中建立具有奇异漂移的分布依赖SDEs（DDSDEs）的平均化原理。
• 解决DDSDEs中漂移系数内含高度振荡时间分量的挑战。
• 推导快慢系统向其平均化极限收敛的强收敛与弱收敛的显式收敛速率。
• 将现有平均化原理结果扩展至分布依赖系数情形，且在正则性要求最低的条件下成立。

提出的方法

• 采用Zvonkin的变换对具有奇异漂移的SDE进行正则化，从而能够应用PDE技术。
• 利用Kolmogorov方程解的热核估计来控制转移密度的时间正则性。
• 应用时间离散化技术以处理SDE动力学中的 $\widetilde{\mathbb{L}}^p$ 漂移项。
• 通过分析原始过程与平均化过程之间的总变差距离来建立收敛速率。
• 在局部Bessel势空间中使用Schauder型估计与不动点论证来控制解的行为。
• 利用漂移项作为解分布函数的结构，以处理平均场依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\varepsilon \to 0$ 时，具有奇异漂移的快慢DDSDE的解在何种条件下收敛于平均化系统的解？
• RQ2 此类系统的强收敛与弱收敛的显式速率是什么？它们如何依赖于漂移项的可积指数 $p$？
• RQ3 是否可以在基于 $L^p$ 的局部空间中为具有分布依赖漂移的DDSDEs建立平均化原理？
• RQ4 Zvonkin变换与热核估计如何被调整以处理漂移项的平均场性质？
• RQ5 解的时间正则性在快慢系统收敛性分析中起到何种作用？

主要发现

• 在局部 $L^p$ 空间中，具有奇异漂移的原始DDSDE的解在 $varepsilon \to 0$ 时强收敛于平均化系统的解。
• 本文建立了过程概率测度的弱收敛，且收敛速率明确依赖于漂移项的可积指数 $p$。
• 在适当的漂移与扩散系数假设下，强收敛速率阶为 $\varepsilon^{\frac{1}{2}}$。
• 当 $p > d$ 时，弱收敛速率阶为 $\varepsilon^{\frac{1}{2}}$；当 $p \leq d$ 时，弱收敛速率阶为 $\varepsilon^{\frac{1}{2} - \delta}$，其中 $\delta > 0$ 为小量。
• 热核估计与Zvonkin变换在控制漂移的不规则性及证明收敛性方面起关键作用。
• 在最小正则性假设下，收敛结果具有鲁棒性，将先前工作扩展至 $p$ 接近 $d$ 的 $L^p$ 漂移情形。